Вероятности гипотез. Формулы Байеса

Пусть событие А наступает с одним из попарно несовместимых событий А₁, А₂,..., А_n. Так как заранее неизвестно, какое из событий наступит, условимся называть их гипотезами. По формуле полной вероятности можно определить вероятность события

Допустим, что в результате испытания событие А наступило. Требуется определить, как изменилась вероятность гипотез А_i, т.е. необходимо определить заново вероятности Р_А(А_i).

Теорема 9.

, где i = 1, 2, …, n

Данные формулы носят название формул Байеса.

Пример. Пусть количество и качество электролампочек, поставленных в магазины данного района, определены условием предыдущего примера. Купленная электролампочка оказалась стандартной. Указать возможные гипотезы о месте изготовления лампочки и найти их вероятности.

Решение. Оказавшаяся стандартной лампочка могла быть изготовлена на первом (гипотеза А₁), втором (гипотеза А₂), третьем (гипотеза A₃) заводах, так как стандартные лампочки производятся на каждом из них. Сначала найдем вероятность гипотезы А₁, т.е. Р_А(А_i).

Аналогично определим Р_А(А₂), Р_А(А₃)

Р_А(А₂) = 0,315, Р_А(А₃) = 0,188

Вероятнее всего, купленная лампочка оказалась выпущенной первым заводом.