Схема независимых повторных испытаний

Определение. Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

Теорема Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р, а вероятность непоявления – q. Тогда вероятность наступления события А ровно m раз в n испытаниях вычисляется по следующей формуле:

Пример. Вероятность поражения цели для стрелка при одном выстреле равняется 0,75. Определить вероятность того, что при 6 выстрелах он попадет 4 раза.

Решение. Непосредственно воспользуемся результатом теоремы Бернулли. Вероятность попадания р = 0,75, вероятность промаха q = 0,25.

Локальная теорема Моавра-Лапласса. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р, а вероятность непоявления – q. Число испытаний n – достаточно велико. Тогда вероятность наступления события А ровно m раз в n испытаниях вычисляется по следующей формуле:

, где

– данная функция затабулирована, где

,

причем функция – четная, т.е. =

Пример. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Определить вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз.

Решение. Вероятность попадания р = 0,8, вероятность промаха q = 0,2, количество испытаний n = 100, m = 75. Воспользуемся теоремой Моавра-Лапласса.

= = 0,1826 (вычислено по таблице)

Интегральная теорема Моавра-Лапласса. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р, а вероятность непоявления – q. Число испытаний n – достаточно велико. Тогда вероятность наступления события А от m₁ раз до m₂ в n испытаниях вычисляется по следующей формуле:

, где

;

– интеграл вероятности или функция Лапласса, причем функция – нечетная, т.е. =

Пример. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Определить вероятность того, что при 100 выстрелах число попаданий будет в интервале от 60 до 80 раз.

Решение. Вероятность попадания р = 0,8, вероятность промаха q = 0,2, количество испытаний n = 100, m₁ = 60, m₂ = 80. Воспользуемся теоремой Моавра-Лапласса.