К решению вероятностных задач

Определение. Соединениями называются различные группы, составленные из каких-либо однородных объектов.

Существует 3 вида соединений: перестановки, размещения, сочетания.

Определение. Перестановками из n элементов называются соединения, содержащие все n элементов, отличающиеся между собой порядком расположения элементов.

Число перестановок обозначается Р_n и находится по формуле:

Если среди n элементов встречаются одинаковые, допустим, а – α раз, b - β раз, с - γ раз, то число различных перестановок будет определяться по следующей формуле:

Определение. Размещением из n элементов по k называются такие соединения, в каждое из которых входит k элементов из n и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Число размещений, обозначаемое определяется по следующей формуле:

Пример. На каждой из 5 одинаковых карточек напечатана одна из букв А, М, Р, Т, Ю. Карточки перемешаны. Найти вероятность того, что на 4-х вынутых карточках и расположенных в одну линию можно будет прочесть слово ЮРТА.

Решение. Число всех слов, которые содержат 4 буквы из предложенных пяти, будет равняться

Слово ЮРТА можно из данных букв сложить единственным образом. Следовательно, число всех исходов равно n = 120, а благоприятных исходов m = 1.

P (“ЮРТА”)

Пример. Ребенок играет с 10 буквами азбуки А, А, А, М, М, Т, Т, Е, И, К. Найти вероятность того, что он случайно сложит слово МАТЕМАТИКА.

Решение. Число всех возможных исходов равняется числу всевозможных слов, состоящих из 10 букв, которые можно образовать, используя исходные буквы. Это равняется числу перестановок P₁₀.

Число благоприятных исходов m = 1. Итак

Р (“МАТЕМАТИКА”) = =0,0000066

Определение. Сочетаниями из n элементов по k называются соединения, в каждое из которых входит k элементов, взятых из данных n элементов. Сочетания отличаются друг от друга только самими элементами, но не порядком их следования.

Число сочетаний, обозначаемое , определяется по формуле:

Пример. Из полной колоды карт (52 карты) вынимаются наугад сразу 3 карты. Найти вероятность того, что эти карты будут 3-ка, 7-ка, 9-ка.

Решение. Всего в колоде 4 тройки, 4 семерки, 4 девятки. Нам нужно выбрать одну из троек. Число всех возможных способов, которыми можно достать одну тройку, равно , число возможных способов вынуть 7-ку равно , 9-ку – . Отсюда, m - число благоприятных исходов равно , m = 64. Число всех возможных исходов n = .