Геометрические вероятности. Пусть на плоскости имеется некоторая квадрируемая область G и в ней содержится другая область g (см

Пусть на плоскости имеется некоторая квадрируемая область G и в ней содержится другая область g (см. рис. 1). В область G наудачу бросается точка А и спрашивается, чему равна вероятность того, что точка попадет в область g.

Определение. Область g называется благоприятствующей областью, G – всей возможной областью, факт принадлежности точки А к области будем называть событием.

Данная вероятность определяется отношением площадей области g и G.

Аналогичным определением вероятности можно пользоваться, если исследуемый процесс моделируется случайным вбрасыванием точки в одномерную, трехмерную (и вообще n-мерную) область.

Пример. Два лица А и В условились встретиться в определенном месте между 12-00 и 13-00 часами. Пришедший первым ждет другого не более 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц А и В, если приход каждого из них в течении указанного часа может произойти наудачу и моменты их прихода независимы.

Решение. Пусть Х - момент прихода A, a Y - момент прихода В.

Все возможные исходы изобразятся точками квадрата со сторонами 60. Благоприятствующие исходы расположатся в заштрихованной области (см. рис. 2).

mes G = 60² = 3600

Для того чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно выполнение условия:

|Х - Y| 20

mes g = 60² – 40² = 2000

Искомая вероятность будет равна

отношению соответствующих площадей.