Динамикадан есептерді шығару әдістері

Материалдық нүкте динамикасының негізгі есебі берілген күш пемасса арқылы қозғалыс заңын табу (тура есеп) немесе берілген масса мен қозғалыс заңы арқылы материалдық нүктеге түсірілген күшті анықтау (кері есеп).

Материалдық нүктенің қозғалысына арналған механика есептерін Ньютон заңдарын қолданып шешудің өзіне тән ерекшеліктері төмендегідей:

1) Есептің шартында берілген физикалық процесті талдап, схемалық чертежын сызып, ондағы қозғалыстың барлық кинематикалық сипаттарын көрсетеді. Мүмкін болса, үдеу векторын міндетті түрде көрсеткен жөн.

2) Қозғалыстағы материалдық нүктеге сол уақыт сәтінде әсер ететін барлық күштерді көрсетеді. Байланыстарды күштермен алмастырып, материалдық нүктені байланыстардан босатады.

Денеге түсірілген күштерді салғанда әрқашанда Ньютонның үшінші заңына сүйенуді ұмытпау керек, яғни денеге күштер басқа денелер тарапынан әсер етеді. Мысалы ауырлық күші жердің керілу күші жіптің, нормаль реакция күші және үйкеліс күші беттің әсерлері болып табылады.

3) Материалдық нүкте үшін динамиканың негізгі заңы жазылады:

4) Санақ системасын таңдап аламыз. Есеп шығаруға ыңғайлы, оңай болу үшін ОХ осін жылдамдық бағытымен, ал ОУ осін оған перпендикуляр етіп алған жөн. Остердің оң бағытын үдеудің бағытымен үдеудің бағытымен сәйкестендіріп алған ыңғайлы.

5) Күштердің ОХ және ОУ остеріне проекцияларын тауып, динамиканың негізгі теңдеуін проекциялары арқылы жазамыз:

Санақ жүйесін жоғарыда айтқанымыздай таңдап алу күштердің проекцияларының қайсы жылдамдықтың шамасын, ал қайсысы бағытын өзгертетінін оңай анықтауға мүмкіндік береді.

Материалдық нүкте түзу сызықпен қозғалған кезде үдеулердің біреуі нольге айналады.

6) Жазылған динамика теңдеулерінен белгісіздер санын анықтаймыз. Белгісіздер саны теңдеулер санынан артық болмаса, оларды шешуге кірісеміз. Егер жазылған теңдеулер санынан белгісіздер саны артық болса, есептің берілгенін айта қарап, жетпейтін теңдеулерді алу мүмкіндігін қарастырамыз. Егер ондай мүмкіндік болмаса, қосымша теңдеулер кинематика формулалары және энергия мен импульстың сақталу заңдары негізінде жазылады. Осыдан кейін барып, толық теңдеулер жүйесін ізделініп отырған белгісізге қатысты жалпы түрде шешеміз.

7) Жалпы шешімге СИ системасына келтірілген өлшем бірліктерін қойып, қысқартып есептің дұрыс шешілгенін тексереміз. Есептің дұрыс шығарылғанына көз жеткізген соң жалпы шешімге физикалық шамалардың сан мәндерін қойып, белгісіздің сандық мәнін анықтаймыз.

8) Есептің жауабын талдаймыз.

Мысал 1. горизонталь бетте массасы 5 кг дене жатыр. Егер денеге горизонтпен 50 бұрыс жасай F=50Н күш әсер етсе, ол t=1 сек. Қандай жол жүреді? Бет пен дененің арасындағы үйкеліс коэффициенті = 0,2.

Берілгені: Шығарылуы:

t=1 c тұрақты күштің әсерінен дене тұрақты үдеумен

m=5 кг қозғалады, яғни дене бір қалыпты үдемелі қозғалысқа

F=50 Н түседі.

Есептің схемалық чертежын сызамыз. Санақ жүйесін таңдап алып,

кинематикалық шамаларды көрсетеміз.

Т.к. S=?

Денеге әсер ететін күштерді анықтаймыз:

, , , .

Динамиканың негізгі теңдеуін жазайық:

Күштердің ОХ және ОУ остеріне проекциаларын табамыз

Динамика негізгі заңын ОХ және ОУ остеріндегі проекциялы арқылы жазамыз:

немесе (1)

(2)

Қозғалыс түзу сызықты болғандықтан ,

Онда

Кинематикадан бірқалыпты үдемелі қозғалыс теңдеуін қосып, теңдеулер жүйесін орын ауыстыруға қатысты шешеміз.

.

Онда , (1) теңдеуге қойсақ

өлшем бірліктерін қойып тексереміз:

Есеп дұрыс шыққан, сан мәндерін қойып есептеуге болады.

Ізделініп отырған шаманың сан мәні нанымды.

Мысал 2. тауға қарай 1 м\с үдеумен қозғалып келе жатқан автомобиль моторының тарту күшін табу керек. әрбір 25 м жолға таудың көлбеулігі 1 м-ге тең. Автомобильдің салмағы 9,8*10 Н, үйкеліс коэффициенті 0,1-ге тең.

Берілгені:

Шығарылуы: Есеп динамиканың негізгі заңына берілген, оны шығару схемалық чертежын сызып, кинематикалық шамаларды көрсетуден бастайық.

Денеге әсер ететін күштерді анықтаймыз:

, .

Динамиканың негізгі заңын жазамыз:

Санақ жүйесін таңдап алайық. Ол үшін жоғарыда айтқанымыздай ОХ осін жылдамдық бағытымен, яғни көлбеу жазықтық бойымен бағыттаймыз. ОУ осі ОХ – ке перпендикуляр болатыны түсінікті. Бұл жағдайда есеп ең қарапайым түрде шығарылады.

Күштердің проекцияларын анықтайық

Динамика негізгі заңын проекциялары арқылы жазып, теңдеулер саны мен белгісіздер санын теңестіру үшін қосымша теңдеулер алып, жүйені шешеміз

Немесе

Болғандықтан

Мұндағы

Екенін ескерсек

өлшем бірліктерін тексереміз:

өлшем бірлігі дұрыс, олай болса, есептің шығарылуы да дұрыс. Сан мәндерін қойып есептеуге болады.

Мысал 3.

Массасы 8 кг және 6 кг жүктер горизонталь үстелдің үстінде бір-біріне байланған. 8 кг-дық жүкке қозғалмайтын блок арқылы 6,5 кг жүкті байлаған. Жүктер системасының үдеуін және жіптің керілу күшін анықтаңдар. Екінші және үшінші жүктер мен үстел арасындағы үйкеліс коэффициенті k=0,020 тең, еркін түсу үдеуі g=9,8 м/с

Берілгені:

Т/к. а-? Т -? Т -?

Шешуі: қозғалыс теңдеулерін жазу үшін әрбір денені бөлек алып, оған әсер ететін күштерді қарастырайық. Суреттен бірінші денеге вертикаль бойымен салмақ күші және жоғарыға қарай жіптің керілу күші әсер ететіндігін көреміз. Бұл жағдай үшін Ньютонның екінші заңы төмендегідей болады:

Суреттен екінші денеге әсер етуші күштердің саны бесеу екені оңай байқалады. Вертикаль бойымен салмақ күші мен үстелдің жүкке түсірілген реакция күші әсер етеді. Олар бір-біріне шама жағынан тең, бағыт жағынан қарама-қарсы күштер. Олай болса, бұл күштердің тең әсерлі күші нольге тең:

Денеге горизонталь бағытта үш күш әсер етеді. Бірінші күш бірінші дененің жібінің керілу күші Т , екінші күші – үшінші дененің жібінің керілу күші және үшінші күш үстел мен дененің арасындағы кедергі күш. Сонымен тең әсерлі күш бірінші дене жаққа қарай бағытталады (себебі олай болмаған жағдайда жүк қозғалысқа келмеген болар еді). Тең әсерлі күшке Ньютонның екінші заңын қолдансақ:

Барлық дене бір-біріне байланып жалғастырылғандықтан, олар бірдей үдеумен қозғалады.

Үшінші денеге төрт күш әсер етеді: олар вертикаль бойымен бағытталған дененің салмақ күші және үстельдің реакция күші, бұл күштер бір-біріне шама жағынан тең, бағыт жағынан қарама-қарсы, сондықтан олардың тең әсерлі күші нольге тең. Горизонталь бойымен денеге екі күш әсер етеді, олар: екінші жүктің жібінің керілу күші және жүк пен үстелдің арасындағы кедергі күші. Олай болса, үшінші дене үшін күштердің векторлық түрдегі теңдеуі былай жазылады:

Жоғарыдағы векторлық теңдеулерді скалярлық түрде жазу үшін х осінің оң бағытын жүктердің қозғалыс бағытына бағыттас етіп аламыз. Сонда денеге әсер ететін көрсетілген күштердің проекциясы таңдап алған х осіне параллель болғандықтан олар сол ось бойынша өзгеріссіз қалады.

Жоғарыдағы талдауларға сүйеніп (1), (2); (3) теңдеулерді скалярлық түрде жазсақ:

Кедергі коэффициентін есептің шартынан оңай табуға болады:

Есептің талдауынан мынандай теңдеулер системасын аламыз:

Есептің шарты мен суретінен

Осы теңдікті ескеріп, соңғы теңдеулер системасы арқылы шешіп, алатынымыз:

Жауабы: а=3