Тасымалдау құбылыстарының жалпы теңдеуі 2 страница

(4)

Өрістің кернеулігімен байланысты j скалярлық функцияны электр өрісінің скалярлық потенциалы деп атайды. нүктелік зарядтың нормаланған потенциалы: . нүктелік зарядтар системасының потенциалын табу үшін нүктелік заряд потенциалының формуласын және суперпозиция принципін пайдалану керек:

(5)

мұндағы -потенциалы анықталып отырған нүктенің радиус-векторы, -і-ші нүктелік заряд орналасқан нүктенің радиус векторы.

Заряд белгілі бір көлем бойынша тығыздықпен үзіліссіз таралған болса, заряд таралған көлемнің әрбір бөлігін нүктелік заряд ретінде қарастыруға боларлықтай етіп өте кішкене бөліктерге бөлеміз. сонда, әрбір бөлігінің заряды болады. енді суперпозиция принципін пайдаланып және өте кішкентай көлемдер бойынша алынған қосындының шегі интегралға тең екендігін ескерсек:

(6)

болып шығады.

Векторлық анализдің бір түсінігі бізге таныс: ол- скалярлық өрістерді сипаттайтын - градиент. егер координаталары x, y, z болатын әрбір р нүктесін скалярлық шаманың мәні сәйкестендіріп қойылса, онда скалярлық өріс берілген деп атайды. шаманың градиенті дегеніміз мына вектор

(7)

Осы вектордың мәнісін түсіну үшін функциясының кесіндіге орын ауыстыруы кезіндегі, яғни болғандағы, - функциясының толық дифференциалын ( функция өсімшесін) есептеп шығарамыз.

(8)

Сонымен, қайсыбір бағытта орын ауыстырғандағы -дің шексіз аз өсімшесі осы бағыттағы компонентінің орын ауыстыру модуліне көбейткенге тең; . яғни векторы болатын бетке перпендикуляр бағытталған.

Гаусстың электростатикалық теоремасы: «электр өрісі кернеулігінің тұйық бет бойымен алынған ағыны сол беттің ішінде орналасқан зарядтардың арасындағы математикалық байланысты тағайындайды:

(9)

мұндағы e₀-электрлік тұрақты. егер зарядтар үзіліссіз, координаттарға тәуелді, көлемдік тығыздықпен таралатын болса, онда

мұндағы q-тұйық s бетпен шектелген көлем ішіндегі толық заряд.

Гаусс теоремасының физикалық негізі кулон заңы болып табылады; немесе басқаша айтқанда гаусс теоремасы кулон заңының интегралдық түрі деуге болады.

бізге гаусс теоремасының интегралдық түрі белгілі.

(10)

Енді зарядтың көлемдік тығыздығы мен кеңістіктің берілген нүктесінің төңірегіндегі кернеуліктің өзгерулері арасындағы байланысты тағайындайтын гаусс теоремасының дифференциалдық түрін іздейміз. біле отырып, (1) теңдіктің екі жағын да v бөлсек

(11)

енді (өрістің берілген нүктесінде); . сонда е өрістің дивергенциясы дегеніміз

(12)

осылайша кез келген векторлық өрістің дивергенциясын анықтауға болады. (2) теңдеуден: дивергенция координаталардың скалярлық функциясы болып табылады.

өрістің дивергенциясын алу үшін шексіз кішкене v көлемді алып, осы көлемді қамтитын тұйық беттен тесіп өтетін векторының ағынын анықтап, осы ағынның көлемге қатынасын табу керек. дивергенция үшін осылай алынған өрнек координаталар жүйесіне тәуелді болады (әртүрлі

координаталар жүйесінде ол әртүрлі болады). мысалы, декарт координаталар системасында

Сонымен ұмтылғанда (2)-нің оң бөлігі -ға, ал сол бөлігі- -ге ұмтылады. демек: (13)

(13) теңдеу гаусс теоремасының дифференциалдық түрі болып табылады.

Гаусс-Остроградский формуласы өріс көздерінің қуаты (div) мен көлемді қамтитын бет арқылы өтетін вектор көздері тудырған ағындармен байланыстырады:

(14)

Ротор-векторлық өрістің құйыны, яғни векторлық өрістің берілген нүктесіндегі айналмалы қозғалысты сипаттайтын вектор. мысалы, құйынды физикалық өріс- магнит өрісі. өрістің кезкелген нүктесіндегі векторының осы нүкте арқылы өтетін ауданшаға түсірілген нормальдың бағытына проекциясы контур бойынша алынған векторының циркуляциясының бетінің шамасына қатынасының шегіне тең:

(15)

Электр өрісіндегі өткізгіштер

Өткізгіш бетіндегі өріс кернеулігінің нормаль құраушысы (компонентасы) зарядтың беттік тығыздығымен () бірмәнді анықталады: . Өткізгіш бетінің маңындағы электр өрісінің тангенциаль құраушысының нольге тең болуы () электростатикалық өрістің потенциалдығынан және өткізгіш ішінде өрістің жоқ болатындығынан. Өткізгіштің бетімен заряд бірқалыпты таралмайды: зарядтың беттік тығыздығы беттің қисықтағына тәуелді.

Өткізгіштің ішіндегі өрістің кернеулігі нольге тең болатындықтан өткізгіштің барлық нүктелерінде потенциал мәндері бірдей болады, яғни өткізгіштің 1 және 2 нүктелерінің арасындағы потенциалдар айырымы мынаған тең: . Өткізгіштің барлық нүктелеріндегі потенциалдың бірдей мәндерін өткізгіштің потенциалы деп атайды.

Конденсатор деп арасындағы кеңістікке сыртқы өрістің әсері болмайтындай етіп орналастырылған, екі өткізгіштен тұратын системаны айтады. өткізгіштер конденсаторлардың астарлары деп аталады және олар шамалары тең таңбалары қарама-қарсы зарядталады. конденсатор сиымдылығы . Жазық конденсатордың сиымдылығы: , s- жапсарларының ауданы, d- жапсарларының ара-қашықтығы. цилиндрлік конденсатордың сиымдылығы:

;

мұндағы r₁, r₂- сыртқы және ішкі цилиндрлік жапсарлар радиустері, l- конденсатор ұзындығы. сфералық конденсатордың сиымдылығы: , мұндағы r₁,r₂-конденсаторлардың ішкі және сыртқы жапсарларының радиустері

№10 дәріс. Пуассон және Лаплас теңдеулері. Электростатикалық өрістегі диэлектриктер

электр зарядтарының өзара әсерлесу энергиясы.

1. Пуассон теңдеуі.

2. Электрлік диполь.

3. Электростатикалық өрістегі диэлектриктер

4. Электр зарядтарының өзара әсерлесу энергиясы.

1. Пуассон теңдеуі.

Көп жағдайларда өрістің кернеулігін табудың әдісі-есептерді потенциал үшін дифференциалдық теңдеулерді шешуге әкеліп соғады.сондықтан, біз -функция –потенциал қанағаттандыратын дифференциалдық теңдеуді іздейміз. ол үшін өріс дивергенциясының зарядтың тығыздығымен байланыс теңдеуіндегі орнына оның -мен байланысын, яғни -ді енгіземіз. Сонда

Ал

Ескерсек (1)

Нәтижесінде потенциал үшін жалпы дифференциалдық (1) теңдеу алынды. бұл өрнекті Пуассон теңдеуі деп атайды. зарядтары жоқ кеңістік алқаптарында ;

сонда (1) теңдеу (2)

Лаплас теңдеуіне айналады.

2. Электрлік диполь.

Электрлік диполь деп модульдері бойынша бірдей, бір-бірінен қайсыбір қашықтықта болатын зарядтардың (+q және –q) құрайтын системасын айтады. дипольдың электрлік моменті . Диполь өрісінің потенциалы: , .

мұндағы r – қайсыбір р нүктесінен дипольге дейінгі қашықтық. Диполь өрісі

(3)

Дипольға әсер ететін күш:

3. Электростатикалық өрістегі диэлектриктер

Кейбір заттарды электр өрісіне қойғанда, оларда зарядтардың бағытталған қозғалыстары байқалмайды. Мұның себебі зарядтар атомдар мен молекулаларда байланған күйі болады, сол себепті емін-еркінқозғала алмайды.

Молекулалардағы әр аттас зарядтар өрістің әсерінен қарама-қарсы бағыттарда ығысып, электр бейтырап молекуланы дипольға айналдырады. Әрбір молекулалық диполь электр моментімен сипатталады. Тұтас заттың масштабында осы процесс нәтижесінде бір шетінде оң, қарама-қарсы шетінде теріс полюстері пайда болады. Олардың өрісі сыртқы өрістерге қабаттасып, күш сызықтарының көрінісіп өзгертеді. Диэлектриктің электр күйін поляризацияллық вектор арқылы сипаттайды.

- молекуланың полярлану шамасы.

- полярланбаған молекулалардың диэлектрлік алғырлығы деп атайды. Ол температураға байланысты емес.

Диэлектриктер электрлену механизмі бойынша екі негізгі топқа бөлінеді:

1. Полярланбаған диэлектриктер

2. Полярланған диэлектриктер

Полярланбаған диэлектриктерде молекулалар электр өрісі жоқ болса, бейтарап болады, сыртқы өрістің әсерінен ғана электр полюстері (үйектері) пайда болады. Полярланған деп еш өріс түсірілмеген жағдайда да молекулаларының электр полюстері (үйектері) болатын, электр моменттері болатын диэлектриктерді айтады. Бірақ бұл моменттердің бағыттарынды реттелгендік байқалмайды, яғни хаосты бағытталған болады. Сондықтан диэлектрик тұтасымен алғанда үйектелмеген болады. Сырттан өріс түсірілген жағдайда, электр моменттерінің бағыттары сыртқы өріс бағытына қарай бұрылып, затта басым бағыт пайда болады. Осының нәтижесінде диэлектриктің полюстері пайда болып, поляризация дәрежесі сыртқы өріс кернеулігіне тәуелді болады:

- полярлы диэлектриктің алғырлығы.

Дебай-Ланжевен формуласы.

Диэлектриктегі электр өрісі D-электр ығысу индукция векторымен сипатталады:

,

- ортаның салыстырмалы диэлектикалық өтімділігі. Вакуум үшін

4. Электр зарядтарының өзара әсерлесу энергиясы.

Жүйе 2 зарядтан тұратын болса: зарядтар бір бірінен шексіз алыстағанда потенциалдық энергиясы 0-ге тең деп есептеледі. Зарядтар әраттас болып бір-біріне тартылса, онда шексіз алыстағанда энергия ең үлкен мәніне ие болады. Зарядтар аттас болса, бұл кезде () энергияның ең кіші мәні, ал зарядтар бір–біріне неғұрлым жақын болса, өзара әсер энергиясы да соғұрлым үлкен болады. Ал зарядтар бір-біріне шексіз жақындайтын болса, . Бұл- анықталмағандық, зарядтардың өлшемдерін шексіз кіші деп қабылдағандықтан болады, ал негізінен W_эл шекті шама.

Көптеген зарядтардан құралған жүйенің энергиясы; зарядтардың жұптарының өзара әсер энергияларынан құралады: немесе:

; мұндағы (1)

Кеңістікте үздіксіз орналасқан зарядтар жүйесінің өзара әсерінің энергиясы

(2)

бұл шаманы және нүктелік зарядтардың әсерлесу энергиясы деп қарастыруға болады.

(3)

Зарядтардың өзараәсерлесу энергиясын потенциал арқылы да есептеуге болады.

ондағы (4)

Бұндағы φ_і- і-ші зарядтың орнындағы басқа зарядтардың өрісінің потенциалы. Сонымен

(5)

(6)

энергияны есептеудің басқа жолы - өріс энергиясы деп қарастыру. Өткен сабақта (13) формула бойынша Оны (5) формулаға қойып, түрлендіру жасайық:

(7)

Бүкіл кеңістік бойынша интеграл алатын болсақ, шектелген зарядтардың жүйесі үшін үлкен қашықтықтарда, яғни болғанда, ал S беті r²-қа пропорционал, сол себепті ұмтылғанда алғашқы мүше О-ге айналады. Онда:

(8)

Сонымен дәлелдеуіміз бойынша зарядтар жүйесінің потенциалдық энергиясы осы жүйенің электростатикалық өріс энергиясы болып табылады.

№11 дәріс. Тұрақты электр тогы

1. Ом заңы және оның дифференциалдық түрі

2. Джоуль-ленц заңы және оның дифференциалдық түрі.

3. Кирхгоф ережелері.

4. Био-савар-лаплас заңы.

5. Холл эффектісі. лоренц күші.

Өткізгіштер деп электр өрісінде зарядтардың қозғалысын, яғни электр тогын тудыратын материалды денелерді айтады. өткізгіш бойымен жүретін ток күшін, олардың шеттеріне түсірілетін потенциалдар айырымын байланыстыратын заңды Ом ашқан: , мұндағы r-өткізгіштің кедергісі. Ом заңының дифференциалдық түрі осы соңғы қатысты ток тығыздығына () арнап жазғанда шығады:

(3)

мұндағы -заттың меншікті электр өткізгіштігі.

Джоуль-Ленц заңының дифференциалдық түрі

заңды шексіз кішкене цилиндрге қолданайық. цилиндрдің осі токтың бағытымен дәлдес. Сонда (1)

мұнда , -заттың меншікті электр өткізгіштігі, -ток тығыздығы. Шексіз кішкене цилиндрдің кедергісі: ; Цилиндрдің көлемі: ; (1) өрнектен (2)

- өткізгіштен бөлініп шығатын жылу қуатының көлемдік тығыздығы, яғни өткізгіштің 1м³ көлемінде 1 сек. ішінде пайда болатын жылу. (2) теңдеу – джоуль-ленц заңының дифференциалдық түрі, өйткені барлық шамалар тек бір нүктеге жатады. Ом заңының дифференциалдық түрін пайдалана отырып (2) өрнекті түрлендіреміз, сонда

(3)

(3) - Джоуль-Ленц заңының дифференциалдық түрі.

Кирхгоф ережелері

Сызықты тізбек кезкелген бөлігіндегі көлденең қимасының орта сызықтық өлшемі жалпы ұзындығына қарағанда өте аз тізбек. мұндай тізбекті параллель және тізбектей қосылған кедергілер мен ток көздерінен тұрады деп қарастыруға болады. тізбектегі бөгде эқк: . Көбінесе электрлік тізбек бірнеше тұйық тізбектерден тұратын тармақталған (разветвление) тізбек болып келеді. Тізбектің екіден көп өткізгіштер жинақталатын (түйісетін) нүктесін түйін деп атайды. зарядтың сақталу заңы мен тұйық тізбек үшін ом заңын пайдаланып кирхгоф тармақталған тізбекті есептеудің екі ережесін ұсынған:

1) , бұл ереже үзіліссіздік теңдеуінен, яғни зарядтың сақталу заңынан шығады. тұрақты ток үшін . Демек, -нің ағыны (яғни түйінді қоршаған, ойша алынған тұйық бет арқылы өтетін (ағатын) токтардың алгебралық қосындысы) нольге тең болуы қажет.

2) ереже тармақталған тізбектегі кезкелген тұйық контурға тән: ерікті тұйық контурдың жеке участоктарындағы ток күштерінің олардың кедергілеріне көбейтіндісінің алгебралық қосындысы осы контурдағы әсер ететін эқк-нің алгебралық қосындысына тең: .

Холл эффектісі. Био-Савар-Лаплас заңы. Лоренц күші

Уақыт бойынша өзгермейтін, ал кеңістіктің бір нүктесінен екінші нүктесіне өткен кезде өзгеріп отыратын магнит өрісін стационар магнит өрісі деп атайды. Электр токтары өзара әсерлеседі. тәжірибеден, әрбір параллель өткізгіштердің бірлік ұзындығына келетін өзара әсер күші -ара қашықтық. Токтардың өзара әсерлесу заңын ампер ашқан. токтардың өзара әсері магниттік деп аталатын өріс арқылы жүзеге асады. магнит өрісі әрқашанда бағытталған (эрстед, 1820). Сондықтан ол векторлық шамамен сипатталады. магнит өрісі тыныштықтағы зарядқа әсерін тигізбейді. заряд козғалғанда күш пайда болады. Магнит өрісі үшін суперпозиция принципі орындалады: магнит өрісінің тогы бар жазық контурға әсері: - бұл контурдың магнит моменті; бағыты , мұндағы -бірлік вектор; - бұл қатынас барлық контурлар үшін бірдей. -магнит индукциясының модулі, -нормаль мен өріс бағыты арасындағы бұрыш болғандағы айналыс моментінің ең үлкен мәні. шамасы магнит өрісінің токқа әсер ететін күшін сипаттайды.