Кинематикаға есептер шығару әдістері

Физиканың әр түрлі тарауларында есеп шығарудың жалпы ерекшеліктерінен басқа, сол тараулардың ерекшеліктеріне байланысты қосымша, өздік сипаттары болады.

Физика курсының кинематика тарауында негізінен есептер нүктенің түзу сызықты бірқалыпты және бірқалыпты үдемелі қозғалысына нүктенің шеңбер бойымен қозғалысына шығарылады.

а) Нүктенің түзу сызықты қозғалысына есеп шығарғанда есептің берілгенін оқыған соң схемалық чертежы салынып, онда санақ жүйесі мен нүктенің қозғалыс траекториясы көрсетіледі. Санақ жүйесін дұрыс таңдап алуға ерекше көңіл бөлу керек. Ол үшін координат жүйесінің бас нүктесін қозғалыстағы нұктенің қарастырылып отырған уақыттың бастапқы сәтіндегі орнына сәйкестендіреді және ості векторлар неғұрлым аз жіктелетіндей етіп бағыттайды. Сонда есептің шығарылуы неғұрлым қарапайым түрде болады және математикалық есептеулер оңайлайады. Санақ жүйесін таңдап алған соң чертежда қозғалыстың барлық кинематикалық сипаттамалары көрсетіледі: қарастырылып отырған уақытта орын ауыстыру, қозғалыстың басындағы және аяғындағы лездік жылдамдықтар, үдеу және уақыт. Егер есептің шарты бойынша қарастырылатын орын ауыстыруда қозғалыстың сипаты әр түрлі болса, немесе орын ауыстыру бірнеше бөліктерден тұрса, жүрілген қолды сонша бөліктерге бөліп әрқайсысындағы қозғалысты жеке қарастырады.

Чертеж салынған соң, қозғалысты сипаттайтын формулалар арқылы, чертеждағы физикалық шамалардың арасындағы байланыстарды тағайындаймыз. Нүктенің қозғалысының кинематикалық теңдеулерінің толық жүйесін құрған соң, есептің берілгеніндегі шарттарды қосымша теңдеулер түрінде жазып, теңдеулер саны белгісіздер санына сәйкестендіріледі. Осыдан соң теңдеулер жүйесін шешуге кірісіледі.

Мысал 1. самолет А пунктінен шығысқа қарай 300 км қашықтыққа орналасқан В пунктіне ұшып келеді. Егер: 1) жел жоқ болса, 2) жел оңтүстіктен солтүстікке қарй соғып тұрса және 3) жел батыстан шығысқа қарай соғып тұрса, онда үшу уақытының ұзақтығы қандай? Желдің жылдамдығы =20 м\с, ауамен салыстырғандағы самолеттің жылдамдығы =600 км\сағ.

Берілгені: Шығарылуы:

S=300 км= Есепті шығаруды санақ жүйесін таңдап алудан

=20 м\с, бастайық. Қозғалмайтын санақ жүйесін жермен,

=600 км\сағ=166 м\с ал қозғалыстағы санақ жүйесін ауамен байла-

Тк ныстырамыз. Онда -ауыспалы (желдің жерге

қарағандағы) жылдамдық, - салыстырмалы (самолеттің ауаға қарағандағы) жылдамдық болады. Абсолют жылдамдық болса қатынасымен анықталады.

Есептің схемалық чертежін салайық:

Самолет А нүктесінен В нүктесіне түзу баруы үшін абсолют жылдамдық міндетті түрде ОХ осімен бағытталуы керек. Үш жағдайда да қозғалыс бірқалыпты түзу сызықты, ендеше қозғалыс теңдеуі: немесе S=Vt түрінде жазылады.

Бұдан (V – абсолют жылдамдық)

1) =0 онда, V= және

2) , онда

Параллелограммға толықтырылып, - бағыты анықталады. Самолет ОХ бойымен қозғалу үшін, суреттегідей бағытталуы керек. Онда .

Суреттен

:

3) - ОХ бойымен бағытталған, онда де сол ось бойында жатады, сонда ғана –ОХ бағытына сәйкес болады.

Сондықтан , яғни ;

Түзу сызықты бірқалыпты үдемелі қозғалысқа берілген есептер негізінен екі формуланы қолданумен шығарылады:

Немесе қозғалыс түзу сызықты болғандықтан

Мұндағы =сonst

Осы теңдеулерге есептің шартынан қосымша теңдеулер жазылып, теңдеулер жүйесі құрылады. Теңднулер саны белгісіздер санынан кем болмаса, теңдеулер жүйесі ең тиімді тәсілмен шешіледі.

Мысал 2. автомобиль 0,5 м\с үдеумен қозғала бастаған моментте оның жанынан бірқалыпты үдемелі қозғалып, 18 км\сағ жылдамдықпен трамвай өтеді. Трамвайдың үдеуі 0,3 м\с. Автомобиль трамвайды қуып жеткенде жылдамдығы қандай болады?

Берілгені:

Шығарылуы:

Қозғалыстар бірқалыпты үдемелі. Санақ жүйесінің бас нүктесіне автомобиль мен трамвай кездескен нүктені сәйкестендіреміз. Уақытты есептеу де осы нүктеден басталады. Қозғалыстың схемалық чертежін саламыз.

Траекторияны бейнелеп, кинематикалық шамаларды белгілейміз. Екі дене үшін де қозғалыс теңдеулерін жазамыз: автомобиль үшін:

Трамвай үшін:

Есептің шартынан қосымша теңдеулер жазайық. Денелер бірдей уақытта бірдей жол жүреді (кездеседі).

Онда жоғарыдағы алғашқы үш теңдеу мына түрде жазылады:

(1)

Немесе екенін ескерсек

Бұдан

Уақыттың бұл мәнін (1) жүйедегі екінші теңдеуге қойсақ:

Есеп жалпы түрде шығарылды. өлшем бірлігінің дұрыс екендігі, яғни есептің дұрыс шыққаны оңай тексеріледі:

Жылдамдықтың сандық мәнін есептейміз.

Есептің жауабының мәні есептің шартына қарағанда нанымды.

Жанынан 5 м\с жылдамдықпен өткен трамвайды қуып жету үшін автомобиль осындай үлкен жылдамдық алу керек.

Вертикаль жоғары лақтырылған дененің қозғалысына есеп шығарғанда ерекше көңіл аудару қажет. Вертикаль жоғары лақтырылған дененің жылдамдығы (V) мен орын ауыстыруының (S=h) уақытқа (t) тәуелділік теңдеулері олардың арасындағы байланысты бүкіл қозғалыс барысында сипаттайды. Олар жоғары баяулай көтерілгенде ғана емес, траекторияның жоғарғы нүктесінде бір сәт тоқтап, бұрыңғы үдеумен төмен қозғалғанда да дұрыс, тек үдеудің таңбасының өзгеретіні ескеріледі, яғни қозғалыс теңдеулері жоғары көтерілгенде

ал төмен қозғалғанда

түрінде жазылады.

Егер ауаның кедергісі ескерілмесе толық үдеу еркін түсу үдеуіне тең екендігі белгілі. Сонымен қоса дененің максималь биіктікке көтерілу уақыты оның құлау уақытына, ал құлау жылдамдығы жоғары лақтырылған бастапқы жылдамдыққа тең.

Мысал 3. доп һ 10 м биіктіктегі нүктеден вертикаль жоғары лақтырылған. Барлық қозғалыс уақытында ол 3һ жол ұшқан деп есептеп, доптың бастапқы жылдамдығын, қозғалу уақытын және құлау жылдамдығын табыңыздар.

Берілгені: Шығарылуы:

Һ=10м қозғалыстың схемалық чертежын саламыз. Ол

l=3h үшін санақ жүйесінің бас нүктесіне доптың

Тк: =? t=? V=? лақтырылған нүктесін немесе доптың жер бетіне құлаған нүктесін алуға болады. Қай нүктені таңдағанымыздан есептің нәтижесі өзгермейді. Санақ жүйесінің бас нүктесін (0) жермен байланыстырайық. Дененің қозғалыс траекториясын белгілейік те бастапқы және соңғы V жылдамдықтарды, биіктіктерді һ және уақыттарын көрсетейік. Есептің шартынан егер дене 3һ жол жүрсе ол лақтырылған нүктеден биіктікке көтеріліп, 2һ төмен құлайтынын табуға болады

Жоғары көтерілгендегі қозғалыс теңдеуін жазайық.

Ең жоғарғы нүктеде V=0, онда Бұны бірінші теңдеуге қойсақ

онда ал

төмен қозғалғандағы қозғалыс теңдеуі:

және , бұдан , ендеше

ал толық уақыт , жоғарғы мәндерін қойсақ:

Сан мәндерін қойып есептейміз:

Формулалрға екі ғана шама енгендіктен өлшем бірліктерін жеке тексермей-ақ, бірден қоюға болады.

Қисық сызықты қозғалысқа берілетін есептерден негізінен нүктенің шеңбер бойымен қозғалысы және горизонтқа бұрыш жасай лақтырылған денелердің қозғалысы қарастырылады.

Нүктелердің шеңбер бойымен қозғалысына есептер шығарудың түзу сызықты қозғалысқа берілген есептерді шығарудан принципиалды айырмасы жоқ. Ерекшелігі айналмалы қозғалыс кинематикасы теңдеулерімен қоса айналмалы және сызықтың қозғалыс сипаттамаларының арасындағы байланысты ескеру керектігінде.

Егер дене тұрақты бұрыштық үдеумен айналса, онда оның қозғалыс теңдеулері түзу сызықты қозғалыстағы сияқты мынандай түрде жазылады:

Егер қозғалыс бірқалыпты айналмалы болса ω=const, ε=0, ε>0,болса ω>

Бұрыштық жылдамдық артады, ал ε<0 болса кемиді: ω< . Екінші жағдайда теңдеулер теріс таңбамен жазылады, яғни:

Сызықтық және бұрыштық жылдамдықтар арасындағы байланыс V= ωR түрінде беріледі, бұдан - жанама үдеу. Осы теңдеулерге есептің шартынан қосымша теңдеулер қосылып, кез келген есепті шығаруға болады.

Мысал 4.

Автомобиль қисықтық радиусы R=50 м-ге тең шоссенің бойымен келе жатыр. Автомобильдің жүру теңдеуі мұндағы А=10м, В=10 м\с, С=-0,5 м\с . 1) t=5 с уақыт мезетіндегі автомобильдің жылдамдығын v, тангенциал , нормаль және толық а үдеулерін; 2) автомобиль қозғаннан бастап t=10с-қа дейінгі аралықта жол ұзындығын s және ығысу модулін ∆r табу керек.

Берілгені:

R=50м

ξ(t)=A+B+Ct

A=10м

В=10м\с

С=-0,5м\с

1)t=5c

2)t=0 c-тан t=10c-ге дейінгі аралықта

Табу керек: 1) v, , ,a;

2) s, ∆r

Шешуі:

1. бұл есепте жұру теңдеуін біле отырып жылдамдықты теңдеуден уақыт бойынша бірінші туындысын алу арқылы аламыз.

Осы теңдеуге В,С және t-ның мәндерін қоя отырып жылдамдықтың сан мәнін табамыз

=10+2*(-0,5)*5=5м\с.

Жылдамдықтың уақыт бойынша бірінші туындысын алып тангенциал үдеуді табамыз. С-ның мәнін қоя отырып::

.

Нормаль үдеу келесі теңдеумен анықталады . Осы теңдеуге табылған жылдамдықтың және берілген траекторияның қисықтық радиусының мәндерін қоя отырып нормаль үдеудің келесі мәнін аламыз:

=5 .

Суретте көрсетілгендей, толық үдеу және үдеулерінің геометриялық қосындыларына тең болатынын көреміз: . Үдеудің модулі -ге тең. Осы теңдеуге және үдеулерінің сан мәндерін қоя отырып, = .

2. Автомобильдің жүрген s жолын анықтау үшін бір бағыттағы жүрген қозғалыс жағдайында жол ұзындығы s қисық сызықты координата ξ –дің өзгертетініне тең, яғни

S= ξ(τ)- ξ(0), немесе s=A+Bt+C -A.

Алынған теңдеуге В,С және τ-лардың мәндерін қойып, есептесек:

s=A+Bt+C -A=10+10*10+(-0.5)*10 -A=50м.

Суреттен көретініміздей орын ауыстыру модулі мынаған тең ∆r=2Rsin ( \2).

Мұндағы -автомашинаның траекториясындағы бастапқы ξ(τ) және ξ(0) орындарын анықтайтын радиус-векторлар арасындағы бұрыш. Бұл бұрышты (радиан өлшем бірлігінде) s жолдың R қисықтық радиусына қатынасы ретінде табамыз, яғни =s/R. Олай болса,

∆r=2Rsin (s/2R).

Бұл теңдеуге R, s мәндерін қойып есептеу нәтижесінде табатынымыз:

∆r=2Rsin (s/2R)=2*50*sin(50/2*50)=47.9 м.

Жауабы: v=5м/с, =-1 м/с , =0,5 м/с , а=1,12 м/с ,s=50м, ∆r=47.9м.

Горизонтқа бұрыш жасай лақтырылған дененің қозғалысы ОХ және ОУ осьтерінің бойымен өтетін екі түзу сызықты қозғалыстарының қосындысы ретінде қарастырылады.

ОХ осі жер бетінің бағытымен, ОУ осі оған перпендикуляр бағытталады. ОХ осі бойымен өтетін қозғалыс бірқалыпты түзу сызықты, ал ОУ осі бойындағы, қозғалыс вертикаль жоғары лақтырылған дене қозғалысы сияқты, яғни бірқалыпты үдемелі қозғалыс болып табылады. Бұл қозғалыстардың теңдеулерін, оларға жеке-жеке есеп шығарудың әдістерін жоғарыда қарастырдық. Бұл қозғалысқа арналған есептердің барлығын шығаруды, жоғарыда айтқанымызда ескеріп, жылдамдық және үдеу векторларын ОХ және ОУ остеріне жіктеуден бастайды. Кейін барып әр бағытта қозғалыс теңдеулерін құрады. Дене горизонтқа бұрыш жасай аса үлкен емес (бірінші космостық жылдамдықтан кіші) жылдамдықпен лақтырылғанда, ауаның кедергісі ескерілмеген жағдайда, парабола бойымен қозғалатыны және екі қозғалысқа дене бір мезгілде қатысатындықтан ОХ бойымен қозғалу уақыты ОУ бойымен қозғалу уақытына тең болатыны есте болу керек. Тағы бір ескеретін жағдай траекторияның кез келген нүктесінде толық үдеу еркін түсу үдеуіне тең де, жердің центріне бағытталады, яғни a=g=

Бұл тақырыпқа есептер шығарар алдында, қозғалыстың схемалық чертежын жалпы жағдайға сызып алып (көрнекті етіп), оны барлық дербес жағдайларға қолдануға болады. Чертежда санақ жүйесі, кинематикалық сипаттамалар (V,a), олардың остер бойынша t=0 және кез келген уақытта жіктелу, қозғалыс теңдеулері, траектория бейнесі, үдеудің жіктелуі көрсетіледі.

Мысал 5. Допты горизонтқа бұрыш жасай =10 м/с жылдамдықпен лақтырылған. Мыналарды: 1) доптың қандай биіктікке көтерілгенін.2) доптың лақтырған жерінен жер бетіне түскен ℓ қашықтығын. 3) оның қанша уақыт қозғалыста болатындығын табу керек. Ауаның кедергісі есепке алынбайды.

Берілгені: Шығарылуы:

1-суреттен қозғалыс теңдеулерін жазайық

=10 м/с

Т.к. =? ℓ=? =?

Мұндағы - көтерілу, ал - ұшу уақыттары . болғандықтан

Максималь көтерілу нүктесінде , ендеше

Бұдан

Онда

Көтерілу уақыты мен түсу уақыты бірдей және олардың қосындысы ұшу уақытына тең екенін ескерсек

Бұл өрнекті үшінші теңдеуге қойсақ

Немесе

Сан мәндерін қойып шығарамыз:

Өлшем бірліктерін сан мәнімен бірге қойып тексереміз.