Энергияның сақталу заңына есептер шығару әдістері

Энергияның сақталу және айналу заңы теңдеуі динамиканың ең жалпы формуласы болып табылады да, элементар механиканың барлық дерлік есептерін шығаруға мүмкіндік береді. Көптеген есептерде бұл теңдеу негізілердің бірі болады да, динамиканың екінші заңы мен импульстің сақталу заңы теңдеулерімен қосылып, берілген құбылысты сипаттайтын толық теңдеулер жүйелерін құрайды. Энергияның сақталу заңын қолдану әсіресе мынандай есептерді шығарғанда өте қолайлы:

а) бірқалыпты үдемелі қозғалыс кезіндегі дененің екі механикалық күйі немесе орны берілсе,

б) бірқалыпсыз айнымалы қозғалыс кезіндегі дененің екі механикалық күйі немесе орны қарастырылса

Энергияның сақталу заңы теңдеулері арқылы шығарылатын есептерді шығарудың жалпы әдісін төмендегідей түрде көрсетуге болады:

а) Схемалық сызбаны салады да, энергияның сақталу және айналу заңы формуласын жазады:

(1)

б) Қарастырылып отырған дененің бірінші және екінші жағдайын анықтайды. Бұл жағдайлар көбінесе бастапқы және соңғы күйлері болып табылады.

в) Потенциалдық энергияны есептейтін нольдік деңгей таңдап алынады. Ол үшін көбінесе дененің қозғалыс кезіндегі ең төменгі жағдайы, немесе дене бірінші күйден екіншісіне ауысқанда түсетін деңгейін алу қолайлы.

г) Траекториякның кез келген нүктесінде денеге әсер ететін барлық сыртқы күштерді салады және дененің бірінші және екінші күйлердегі механикалық энергиясын сипаттайтын кинематикалық шамаларды (v,h) көрсетеді.

д) A=FSCosα,

формулаларының қолайлысы арқылы сыртқы күштер жұмысының және күйлердегі толық механикалық энергия өрнектерін құрайды. Оларды энергияның сақталу заңының негізгі (1) теңдеуіне қойып, белгісіз шамаға қатысты шешеді. Егер белгісіз саны бірден артық болса, құрылған энергияның сақталу заңы теңдеулеріне динамиканың негізгі заңы теңдеуі, импульстің сақталу заңы теңдеуі немесе кинематика формулалары қосылады. Нәтижесінде пайда болған теңдеулер жүйесін шешу белгісізді анықтауға мүмкіндік береді.

Мысал 2. тас жылдамдықпен горизонтқа бұрыш жасай лақтырылған. Тастың қозғалыс басталғаннан соң бір секунд өткеннен кейінгі және траекторияның ең жоғарғы нүктесіндегі кинетикалық, потенциалдық және толық энергиясын табу керек. Тастың массасы m=0.2 м/с. Ауа кедергісі есепке алынбайды.

Бер: а) энергияның сақталу заңының негізгі теңдеуін

жазамыз: .

m=0.2 м/с б) сызбаны салып, тастың бастапқы және соңғы

t = 1 c күйлерін белгілейік:

Т/к.

І – бастапқы орны, ІІ – 1 секунд өткеннен кейінгі орны, ІІІ- траекторияның ең жоғарғы нүктесі.

в) Потенциалдық энергияның нольдік деңгейіне жер бетін, яғни тастың ең төменгі І жағдайын аламыз.

г) Тасқа тек ауырлық күші әсер етеді. ( =0). Әр жағдайлардағы жылдамдық векторлары мен нольдік деңгейін биіктіктерін көрсетеміз.

д) Денеге сыртқы күштер әсер етпейді (ауырлық күші жер – дене жүйесінде ішкі күш деп есептеледі және оның жұмысы потенциалдық энергия өзгерісінде ескеріледі), олардың жұмысы А=0

1) t=1 секунд, яғни ІІ орнындағы жағдайды қарастырайық: Бастапқы орнындағы толық механикалық энергия

.

ІІ орнындағы толық механикалық энергия

.

Негізгі теңдеуге осы өрнектерді қойсақ:

Немесе

Бұдан

- жылдамдықты кинематика теңдеулерінен анықтаймыз. және жылдамдықтарды х және у осьтеріне проекциялаймыз: Сызбадан

және

Потенциалдық энергия өрнегіне апарып қойсақ:

Сан мәндерін қойып есептейміз:

Кинетикалық энергия негізгі теңдеуден табылады:

Толық механикалық энергия:

2) Траекторияның жоғарғы нүктесі үшін:

Бұл нүктеде

Энергияның сақталу заңы бойынша:

Толық механикалық энергия:

Толық энергия екі жағдайда да бірдей екеніне назар аударамыз, яғни механикалық сақталу заңы орындалады.

Егер есептерде энергияның сақталу заңы теңдеуі белгісізді табуға жеткіліксіз, яғни белгісіздер саны бірден артық болса, оған көп жағдайда импульстің сақталу заңы теңдеуі қосылады. Бұндай есептерді шығаруды қарастырудан бұрын, импульстің сақталу заңына есеп шығару әдісіне көңіл аударайық.

Импултстің сақталу заңына есептер шығару төмендегі ережелер бойынша жүргізіледі:

а) Қарастырылып отырған денелер жүйесі толық немесе бір бағытта тұйықталған болуын анықтайды. Денелердің әсерлесуі кезінде жүйеде импульс өте тез өзгерсе, яғни әсерлету уақыты шексіз аз деп есептелетіндей жүйе тұйықталған болады.

б) Сызбаны салып, қарастырылып отырған құбылыстың басындағы және аяғындағы импульс векторын көрсетеді.

в) Декарттық координат жүйесінде импульс векторын ох және оу осьтеріндегі және құраушыларына (проекцияларына) жіктейміз: бұл проекцияларды табамыз.

Егер импульс векторлары бір түзу бойымен бағытталса, оларды жіктеудің қажеті жоқ, тек олардың ох бойындағы оң бағыттарын анықтап, проекцияларын табады.

Жалпы координат осін векторларды жіктеу ең аз және осьтің бір бағытында жүйе тұйықталған болатындай етіп таңдап алған ыңғайлы.

г) Импульстің сақталу заңы теңдеулерін ох және оу осьтері бойынша жазады:

Бұл теңдеулер көбінесе

түрінде жазылады.

Мұндағы денелердің (жүйенің) әсерлескенге дейінгі импульстарының қосындылары, - әсерлескеннен кейінгі импульстарының қосындысы.

Бұл теңдеулерді жазғанда векторлар проекцияларының бағытын мұқият анықтау керек. Егер импульс векторының және оның құраушыларының бағыты координат осінің бағытымен сәйкес болса, проекциялар оң таңбамен, ал қарсы болса, теріс таңбамен алынады.

д) Теңдеулер белгісізге қатысты шешіледі. Егер белгісіздер саны теңдеулер санынан көп болса, кинематика теңдеулері қосылады да, теңдеулер жүйесін шешіп, белгісізді табады.

Мысал 1. платформаға бекітілген зеңбіректен теміржол бойына 45 бұрыш жасай снаряд атылған. Атылған соң платформа 3 м қашықтыққа кейін жылжыса снарядтың бастапқы жылдамдығы қандай? Платформаның снарядпен бірге массасы М=2*10 кг снарядтың массасы m=10 кг, платформа дөңгелектері мен рельс арасындағы домалау үйкеліс коэффициенті M=0.002.

Бер:

а) Жер-платформа-снаряд жүйесін үлкен дәлдікпен тұйықталған деп қарастыруға болады.

б) Сызбасын саламыз да, импульс векторларын көрсетеміз.

с) ОХ осін теміржол бойымен ОУ осіне оған перпендикуляр бағыттап, импульс векторларының осы осьтерге проекцияларын табамыз.

г) Әсерлескенге дейінгі импульстар қосындысы:

;

Әсерлескеннен (снаряд атылғаннан) кейінгі импульстар қосындысы

= + +

мұндағы - снарядтың, платформаның және жердің алатын импульстары.

Импульстің сақталу заңы бойынша денелердің әсерлескенге дейінгі және әсерлескеннен кейінгі импульстарының қосындылары тең болады:

Онда + + =0

Немесе

Проекциялары бойынша:

пен ОУ және ОХ осьтерімен бағыттас, таңбалары «оң» және ОУ және ОХ осьтеріне қарсы бағытталған таңбалары «теріс».

(1) теңдеуде екі белгісіз бар ( және ). Белгісізді табу үшін динамика мен кинематика теңдеулерін жазамыз.

Ньютонның ІІ заңы бойынша:

Кинематикадан

V=0 болғандықтан бұдан

(1), (3), және (4) теңдеулер жүйесін белгісізге қатысты шешеміз:

Денелердің соқтығысуына берілген есептер энергияның және импульстің сақталу заңдары арқылы шығарылады. Денелердің серпімді және серпімсіз соқтығысуы кезінде пайда болатын күштерді анықтау өте қиын. Сондықтан бұндай есептерді динамика заңдары арқылы шығару үлкен қиындықтарға әкеледі. Ал энергия мен импульстің сақталу заңдары арқылы оларды оңай шығаруға болады. Импульс пен энергияның сақталу заңдарын соқтығысуға берілген есептерді шығаруда қолдану жоғарыда көрсетілген тәсілдермен жүргізіледі.

Мысал 2:

Соқтығысуды серпімді деп қарастырып, кеңістікте соқтығысқан екі шардың жылдамдықтары мен массаларының төменде келтірілген әр түрлі мәндері үшін, соқтығысқаннан кейінгі олардың жылдамдықтарының бағыты мен шамасын табыңдар.

1) массалары шарлар бірінің соңынан бірі 3 м/с және 4,5 м/с жылдамдықпен бір түзудің бойымен қозғалып бірін-бірі қуып жетеді:

2) массасы шар 3 м/с жылдамдықпен қозғалып тыныштық күйде тұрған массасы шармен соқтығысады;

3) массасы шар 3 м/с жылдамдықпен қозғалып тыныштық күйде тұрған () массасы 4 кг шармен соқтығысады.

Берілгені:

1) ; =3 м/с; =4.5 м/c;

2) ; ; =3 м/с; =0 м/с;

3) ; кг; =0 м/с; =3 м/с;

Табу керек:

Сурет

Шешуі. Шарлар мен олардың қозғалған бетінің арасындағы үйкеліс күші шарлардың қозғалыс жылдамдықтарына қарағанда өте аз болғандықтан, шарлардан тұратын системаны тұйық система қарап, оларға сақталу заңдарын қолдануға болады. Шарлардың соқтығысуы серпімді соқтығысу, сондықтан олардың соқтығысқаннан кейінгі кинетикалық энергиясы жылу энергиясына айналмайды. Бұл жағдайда қозғалыс мөлшерінің сақталу заңымен қатар энергияның сақталу заңы орындалады. Шарлардың соқтығысқаннан кейінгі жылдамдығын сәйкес деп белгілесек, онда:

(1) теңдеудегі векторлық шамаларды скалярлық түрде жазу үшін Х осінің бағытын шарлардың бағытымен бағыттас алып жылдамдықтардың сол оське проекциясын жазамыз:

(1)

Скалярлық түрде жазғанда олардың бағытын ескеру керек, бұл есепте біз оң жаққа бағытталған шардың бағытын оң шама деп аламыз. (сурет)

(1), (2) теңдеулерді қоса шешіп шамаларын тауып аламыз:

(1) Шарлардың массалары бір-біріне тең болғандықтан, (3) және (4) теңдеулерге мәнін қойып шамаларын табамыз:

(5), (6) теңдеулерден массалары бірдей екі шар серпімді соқтығысқанда, бірінші шар – соқтығысқанға дейінгі екінші шардың жылдамдығына тең жылдамдықпен, ал екінші шар соқтығысқанға дейінгі бірінші шардың жылдамдығымен қозғалатындығын көреміз.

2) есептің шарты бойынша 2-ші шар тыныштық күйде тұр () және бірінші шардың массасы екінші шардың массасынан үлкен . (3) және (4) теңдеулерге осы мәндерді қойсақ:

(7) және (8) теңдеулерден шарлардың соқтығысқаннан кейінгі бағыттары оң болатыны көрініп тұр, яғни соқтығысқаннан кейін де екі шар бірінші шардың бағытымен қозғалады және оның бағыты өзіміз таңдап алған солдан оңға қарай бағытталған болады.

3) Есептің шарты бойынша ; ; осы мәндерді (3) және (4) теңдеулерге қоямыз, сонда , яғни - дің мәні теріс болады, демек, екі шар соқтығысқаннан кейін бірінші шар қайтадан кері қарай қозғалады (оңнан солға қарай). Екінші шардың массасы бірінші шардың массасына қарағанда анағұрлым үлкен болса, бірінші шардың массасын ескермеуге болады, осы мәндерді (3), (4) теңдеуге қойып u-ды табамыз, сонда: ; .

Бұл жағдайда бірінші шар екінші шарға соқтығысқаннан кейін соқтығысқанға дейінгі жылдамдықпен кері қарай серпіледі. Жоғарыда қарастырып өткен пункттерді шариктердің біріне – бірі қарама – қарсы қозғалысы үшін де қолдануға болады, ол уақытта да осындай нәтиже алған болар едік.

Сан мәндерін қойып жазсақ:

1)

2)

; - 3 м/с; ;

3)

Жауабы: 1) =4.5 м/с: м/с: 2) =0.75 м/с: 3,75 м/с:

3) =-3 м/с: .

Мысал 3. Массасы 1 кг-ға тең шарик ең аз тиісті биіктіктен «өлі тұзақ» жасайды. «Өлі тұзақтың» ең жоғарғы нүктесінен шығып центр арқылы өтетін түзумен 40 бұрыш жасайтын А нүктесіндегі шариктің қабырғаға түсіретін қысым күшін табыңдар (үйкелісті есептемеңдер).

Берілгені:

Һ = 1 м

α = 40

m = 1 кг

Табу керек: N =?

Шешуі: Берілген денеге бір уақытта серпімділік күші мен ауырлық күші әсер етеді. Шарик «өлі тұзақтан» өткенде құлап кетпеу үшін қандай шарттардың орындалатынын қарастырайық. Ол үшін «өлі тұзақтың» ең жоғарғы нүктесінде шарикке қандай күштер әсер ететінін анықтап алайық: біріншіден шариктің ауырлық күші әсер етеді және ол күш төмен қарай бағытталады, екіншіден сол шариктің салмақ күшінің әсерінен қабырға деформацияланып, ақырында қабырғада серпімділік күш пайда болады, бұл күш шама жағынан шариктің қабырғаға көрсеткен қысым күшіне тең, ал бағыт жағынан – қарама-қарсы болады. Серпімділік күші төмен қарай бағытталады. Ауырлық күші мен деформация күші шеңбердің барлық нүктелерінде бір-біріне тең болмағандықтан, олар шарикті шеңбер бойымен қозғалатын центрге тартқыш күшті тудырады, оның бағыты центрге бағытталған:

.

Шеңбер бойымен қозғалған кез келген денеге Ньютонның екінші заңын қолдансақ:

(1)

Векторлық түрде жазылған (1) теңдеуді скалярлық түрде жазу үшін, денеге әсер етуші күштерді олардың радиусқа проекциясы арқылы жазайық және бұдан былайғы есептерде кездесетін теңдеулердегі векторлық шамаларды осы әдіспен бірден скалярлық түрде жазып отырамыз:

()

(2)

«Өлі тұзақтың» ең биік нүктесінде Р және N күштерінің бағыты бірдей болады:

(3) формуладан шариктің жылдамдығы неғұрлым көп болса, (жылдамдықтың квадратына пропорционал) дене қабырғаны соғұрлым үлкен күшпен қысатынын, яғни ол соғұрлым «өлі тұзақпен» қауіпсіз қозғала алатынын көреміз (3 формуланы қара). Ең биік нүктеде N-ді нольге тең деп алсақ, онда ауырлық күші шарикке центрге тартқыш күш туғызады:

()

Энергияның сақталу заңы бойынша һ биіктіктегі шариктің толық потенциялдық энергиясы ол қозғалғанда шариктің кинетикалық энергиясына және 2R биіктікке көтерілгендегі потенциялдық энергияға тең болады, яғни:

()

mgh – бастапқы потенциялдық энергия, - шариктің «өлі тұзақта» қозғалғандағы кинетикалық энергиясы, mgR дененің «өлі тұзақпен» R биіктікке көтерілгендегі потенциялдық энергиясы.

() және () формуладан һ биіктікті анықтауға болады, яғни «өлі тұзақтың» радиусы белгілі болса, онда шариктің қандай биіктіктен түскенін анықтауға болады:

()

А нүктесінде шарикке серпімділік күш пен ауырлық күші әсер етеді. Центрге тартқыш күш осы екі күштің қорытқы күшіне тең және центрге бағытталған болады (өйткені екі күш те центрге бағытталған):

PCosα – салмақ күшінің радиусқа проекциясы.

- центрге тарқыш күш. Сонда:

(5)

А нүктесінде тұрған шарикке энергияның сақталу заңын қолданса

(5) формуладан N-ді тапсақ:

(7)

(6) формуладан -ты тапсақ:

Осы мәнді (7) формулаға қойып шариктің қабырғаға түсіретін қысым күші N-ді тауып алуға болады:

А нүктесінде шариктің қабырғаға түсіретін қысым күші қабырғаның шарикке түсіретін серпімділік күшіне шама жағынан тең, бағыт жағынан қарама – қарсы болады. Бұл есепте центргн тартқыш күш ауырлық күші мен деформация күштері нәтижесінде пайда болып отыр.

Сан мәндерімен жазсақ N= 3mg(1-Cosα)=3*1*9.8*(1-0.76)=7.05H

Жауабы: N = 7.05H.