Атты дененің айналмалы қозғалысының кинематикасы мен динамикасы

Жүйенің оське қатысты инерция моменті деп нүктелер массаларының олардың осьтен ара қашықтығының квадратына көбейтінділерінің қосындысына тең шаманы айтады:

_N

I = S m_i R_i ² (1)

ⁱ⁼¹

Ал материалдық нүкте үшін:

I = m r ² (2)

Егер дене біртекті болса, онда оның инерция моменті мынаған тең:

I = ò R ²dm =r ò R² dV (3)

мұндағы dm -элементар dV көлемнің массасы, r -тығыздық. Интеграл дененің толық көлемі бойынша алынады.

Осыдан көретініміздей, дененің инерция моменті оның массасынан, берілген оське қатысты массаның таралуынан (бөлінуінен) тәуелді, яғни инерция моменті ілгерілемелі қозғалыстағы массасның атқаратын ролі сияқты айналмалы қозғалысқа қатысты дененің инерттілік өлшемі болып табылады.

Ұзындығы l стерженьге перпендикуляр және оның қақ ортасы арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті:

I =ml²/12 (4)

Радиусы R тұтас цилиндрдің оның осіне қатысты инерция моменті:

I =mR²/2 (5)

Радиусы R жұқа дененің диаметрі арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті:

I =mR²/4 (6)

Радиусы R шардың оның центрі арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті:

I = 2mR²/5 (7)

Кез келген оське қатысты инерция моменті I берілген оське параллель және дененің массалар центрі арқылы өтетін оське қатысты I_c инерция моменті мен дененің массасының осьтер арасындағы ара қашықтығының квадратына көбейтіндісінің қосындысына тең:

I =I_c +md² (8)

Қозғалмайтын айналу осі бар қатты дененің кинетикалық энергиясы оның жеке бөліктерінің кинетикалық энергияларынан құралады:

_{N N}

E_k = S E_ki = w ² /2 S m_i R_i ² =I w ² /2 (9)

^{i=1 i=1}

Айналмалы қозғалыс кезінде массаның ролін инерция моменті, ал сызықтық жылдамдықтың ролін бұрыштық жылдамдық атқаратынын білеміз, ендеше F күштің осьтің кейбір 0 нүктесіне қатысты күш моменті (М) деп келесі өрнекпен анықталатын векторлық шаманы айтады:

M= [r F],(M= rF sin a=F l, l=rF sin a) (10)

Мұндағы r -радиус вектор, ал l -күш иіні деп аталады. М векторының бағыты бұрғы ережесі бойынша анықталады. Қатты дененің айналысы кезіндегі сыртқы күштердің жұмысы мынаған тең:

dA=Mdj =dE_k =d(I w ² /2)= I w dw,,

онда M dw/dt=Iw (dw/dt), M =I (dw/dt)=Ie, (11)

Бөлшектің О нүктесіне қатыты импульс моменті, күш моменті сияқты мынаған тең:

L =[rP], L=rP sin a =Pl =mvl (12)

Дененің импульс моменті мынаған тең:

_{N N}

L = S m_i v_i r_i = w /2 S m_i r_i ² =I w (13)

^{i=1 i=1}

Уақыт бойынша дифференциялдасақ, онда:

dL/dt=(Idw/dt) =Ie =M(14)

Айналмалы қозғалыс динамикасының теңдеуі:

M =Ie = dL/dt (15)

Демек, импульс моментінің уақыт бойынша алынғанг туындысы материалдық нүктелер жүйесіне әсер ететін күштердің моментіне тең.

Материалдық нүктелердің тұйық жүйесінің импульс моменті тұрақөты болып қалады, яғни dL/dt = 0, L = I w= Const

Қатты денелердің қозғалысы денеге әсер ететін күштер және осы күштердің моменттері арқылы анықталады.

Қатты дене тепе-теңдік күйде болуы үшін мына шарттардың орындалуы қажет:

1. Денеге түсірілген барлық сыртқы күштердің векторлық қосындысы

нөлге тең болуы тиіс.

2. Кез келген қозғалмайтын оське қатысты сыртқы күштердің моменті нөлге тең болуы тиіс.