ЗА УМОВ РИЗИКУ

У розд. 7.2 були розглянуті найбільш розповсюджені критерії прийняття рішень в умовах невизначеності.

За тими ж критеріями в принципі здійснюється прийняття рішень і в умовах ризику. До них можна додати критерій середнього значення і стандартного відхилення та критерій Бернуллі.

У даному розділі надано приклади розрахунку основних критеріїв, стисла характеристика яких представлена в табл. 10.1.

Таблиця 10.1

Критерії обґрунтування господарських рішень в умовах ризику [9]

Критерій	Характеристика
Критерій математичного сподівання (правило Байєса)	Ґрунтується на припущенні, що відомі ймовірності настання можливих станів зовнішнього середовища (Pj). Обов’язкова вимога: , тобто використано всі можливі стани природи, інших бути не може. Критерій вибору: значення математичного сподівання альтернативи j. Оптимальна та альтернатива, що має більше значення математичного очікування, ніж інші.
Критерій середнього значення і стандартного відхилення	Для оцінки розсіювання значень обраного параметру (критерію) використовують дисперсію – стандартне відхилення результатів як ступеня ризику в критерії прийняття рішень. Чим більше стандартне відхилення, тим більший ризик. Для запобігання ризику вибирають з двох альтернатив з однаковими математичними сподіваннями ту, що має найменше стандартне відхилення.
Критерій Бернуллі	Можлива заміна значень математичних сподівань і моментів ризику цільових функцій на очікувану корисність (вигоду). Оцінка вигоди (корисності) різних альтернатив і вибір максимуму «морального очікування» (MpO) за формулою: , де f(КПi) – дегресивно зростаюча функція корисності; КПі – вартість капіталу за і-того стану середовища; Рі – ймовірність настання і-того стану середовища. У величині корисності трансформуються можливі результати. Альтернатива з максимальним значенням корисності є оптимальною.
Критерій Вальда	За цим критерієм з найгірших альтернатив вибирається найкраща.
Правило макси-макса	За цим критерієм вибирається максимальний з найкращих альтернатив
Критерій Лапласа	Критерій дозволяє відокремити кращий варіант у тому випадку, коли жодна з умов не має істотної переваги. Використовують припущення, що ймовірність виникнення кожного з можливих станів навколишнього середовища однакова. Цінності кожної альтернативи обчислюють за формулою звичайного середнього арифметичного всіх її можливих оцінок у різних станах природи. Оптимальна та альтернатива, що має найбільшу середню оцінку.
Критерій Севіджа	Критерій передбачає побудову матриці втрат від помилкової дії, за якої із сукупності альтернатив з найбільшими втратами вибирається та, за якої ці втрати найменші (тобто оцінка здійснюється за критерієм Вальда).
Критерій Гурвіца	Даний критерій передбачає оцінну функцію між поглядом крайнього оптимізму та крайнього песимізму. Критерій рекомендує брати деякий середній результатміж крайнім оптимізмом та крайнім песимізмом.

Використання їх можливе за умов відомих ймовірностей несприятливих наслідків господарських рішень. Ці ймовірності можуть бути визначені на підставі або статистичних даних, або експертних оцінок.

Приклад.

Потрібно визначити, який обсяг продукції необхідно випускати підприємству для того, щоб отримати найбільший прибуток.

Рішення залежить від ситуації на ринку, тобто від конкретної кількості споживачів, яка наперед невідома та може бути трьох варіантів: S1, S2, S3. Можливі чотири варіанти випуску продукції підприємством: А1, А2, А3 і А4. Кожній парі, що залежить від стану середовища – S_j та варіанту рішення – А_i, відповідає значення функціоналу оцінювання – W (A_i, S_j), що характеризує результат дій (табл. 1).

Таблиця 1

Прибуток від реалізації продукції, тис. грн.

Варіант рішення	Варіант стану середовища
S1	S2	S3
А1	2,5	3,5	4,0
А2	1,5	2,0	3,5
А3	3,0	8,0	2,5
А4	7,5	1,5	3,5
Ймовірність стану середовища	0,25	0,55	0,20

Знайти оптимальну альтернативу випуску продукції з погляду максимізації прибутку за допомогою критеріїв:

· Байєса – за умов відомих ймовірностей станів;

· Лапласа, Вальда, Севіджа – за умов повної невизначеності;

· Гурвіца – з коефіцієнтом оптимізму 0,6.

Розв’язання

I. Оптимальна альтернатива за критерієм математичного сподівання (правило Байєса) знаходиться за формулами:

· для ≠ + (10.1)

· для ≠ - (10.2)

Оптимальна альтернатива випуску продукції з погляду максимізації прибутків, тобто функціональне оцінювання, має позитивний інгредієнт (Т⁺), розрахунки якого виконано в табл. 2.

Таблиця 2

Вибір оптимального рішення за критерієм Байєса

Варіант рішення	Варіанти станів середовища
S1	S2	S3
А1	2,5	3,5	4,0	2,5·0,25+3,5·0,55+4,0·0,2=3,35	А3
А2	1,5	2,0	3,5	1,5·0,25+2,0·0,55+3,5·0,2=2,18
А3	3,0	8,0	2,5	3,0·0,25+8,0·0,55+2,5·0,2=5,65
А4	7,5	1,5	3,5	7,5·0,25+1,5·0,55+3,5·0,2=3,40

За критерієм Байєса оптимальним буде альтернативне рішення А3.

ІІ. а) Критерій Лапласа, як було сказано раніше, ґрунтується на принципі рівності ймовірностей станів середовища.

Оптимальна альтернатива за критерієм Лапласа знаходиться за формулами:

ⁿ

· для F⁺ A_i^* = maxi 1/n Σ W(A_i,S_j). (10.3)

j₌₁

ⁿ

· для F^- A_i^* = mini 1/n Σ W(A_i,S_j). (10.4)

j₌₁

Відповідні розрахунки виконано в табл. 3.

Таблиця 3

Вибір оптимального рішення за критерієм Лапласа

Варіант рішення	Варіант стану середовища	n 1/n Σ W(Ai,Sj) j=1	Оптимальна альтернатива
S 1	S2	S3
А1	2,5	3,5	4,0	1/3*(2,5+3,5+4,0)=3,33	А 3
А2	1,5	2,0	3,5	1/3*(1,5+2,0+3,5)=2,33
А3	3,0	8,0	2,5	1/3*(3,0+8,0+2,5)=4,50
А4	7,5	1,5	3,5	1/3*(7,5+1,5+3,5)=4,16

За критерієм Лапласа оптимальним буде альтернативне рішення А 3.

б) За правилом макси-макса альтернативу знайдемо за формулою:

(10.5)

Відповідні розрахунки виконано в табл. 4.

Таблиця 4

Вибір оптимального рішення за правилом макси-макса

Варіант рішення	Варіанти станів середовища		Оптимальна альтернатива
S1	S2	S3
А1	2,5	3,5	4,0	4,0	А3*
А2	1,5	2,0	3,5	3,5
А3	3,0	8,0	2,5	8,0
А4	7,5	1,5	3,5	7,5

За правилом макси-макса оптимальним буде альтернативне рішення А3.

в) Для визначення оптимального альтернативного рішення за критерієм Вальда скористаємося формулами:

· для F⁺ A_i^* = max_i min_j W(A_i,S_j). (10.6)

· для F^- A_i^* = min_i max_j WA_i,S_j). (10.7)

Відповідні розрахунки виконано в табл. 5.

За критерієм Вальда оптимальними будуть альтернативні рішення А₁ і А₃, які вважаються еквівалентними, тобто мають однакові переваги для виконання.

Таблиця 5

Вибір оптимального рішення за критерієм Вальда

Варіант рішення	Варіанти станів середовища		Оптимальна альтернатива
S1	S2	S3
А1	2,5	3,5	4,0	2,5	А1
А2	1,5	2,0	3,5	1,5
А3	3,0	8,0	2,5	2,5	А3
А4	7,5	1,5	3,5	1,5

г) Застосування критерію Севіджа потребує побудови матриці ризику для лінійного перетворення функціоналу оцінювання за формулами:

· для F⁺ D_ij^* = max_i W(A_i,S_j) - W (A_i, S_j). (10.8)

· для F^- D_ij ^* = W (A_i, S_i) - min_i W(A_i,S_j). (10.9)

Матриця ризику побудована в табл. 6.

Таблиця 6

Матриця ризику

Варіант рішення	Матриця прибутків W(Ai,Sj)	Матриця ризику (Dij)
Варіанти станів середовища	Варіанти станів середовища
S1	S2	S3	S1	S2	S3
А1	2,5	1,5	4,0	7,5-2,5=5,0	8,0-3,5=4,5	4,0-4,0=0
А2	1,5	2,0	3,5	7,5-1,5=6,0	8,0-2,0=6,0	4,0-3,5=0,5
А3	3,0	8,0	2,5	7,5-3,0=4,5	8,0-8,0=0	4,0-2,5=1,5
А4	7,5	1,5	3,5	7,5-7,5=0	8,0-1,5=6,5	4,0-3,5=0,5

Критерій Севіджа до матриці ризиків розраховується за формулою:

A_i^* = min_i max_j W(D_ij). (10.10)

Відповідні розрахунки виконано в табл. 7

Таблиця 7

Вибір оптимального рішення за критерієм Севіджа

Варіант рішення	Варіанти станів середовища		Оптимальна альтернатива
S1	S2	S3
А1	5,0	4,5		5,0	А 3
А2	6,0	6,0	0,5	6,0
А3	4,5		1,5	4,5
А4		6,5	0,5	6,5

За критерієм Севіджа оптимальним буде альтернативне рішення А3.

ІІІ. Оптимальну альтернативу за критерієм Гурвіца знаходять за формулами:

· для (10.11)

· для (10.12)

За умовами прикладу α=0,6.

Відповідні розрахунки виконано в табл. 8.

Таблиця 8

Вибір оптимального рішення за критерієм Гурвіца

Варіант рішен-ня	Варіант стану середовища			max i (α max j [W(A i S j)]+ + (1- α) min i [W(A i S j)]	Опти-мальна альтернатива
S1	S2	S3
А1	2,5	3,5	4,0	4,0	2,5	4,0*0,6+2,5*0,4=3,4	А3
А2	1,5	2,0	3,5	3,5	1,5	3,5*0,6+1,5*0,4=2,7
А3	3,0	8,0	2,5	8,0	2,5	8,0*0,6+2,5*0,4=5,8
А4	7,5	1,5	3,5	7,5	1,5	7,5*0,6+1,5*0,4=5,1

Оптимальним рішенням за критерієм Гурвіца буде альтернативне рішення А3.

Висновок: розрахунки за всіма даними критеріями показали доцільність виробництва продукції за альтернативним варіантом А3.