Непрерывное совместное распределение двух случайных величин

Определение 1. Говорят, что случайные величины и , определенные на одном и том же пространстве элементарных исходов, имеют непрерывное совместное распределение, если найдется непрерывная неотрицательная функция , такая, что

.

При этом функция называется плотностью совместного распределения случайных величин и , или плотностью распределения двумерной случайной величины

Свойства плотности

1.

2. выражение функции распределения двумерной случайной величины через плотность совместного распределения.

3. Выражение функций распределения и составляющих и через плотность совместного распределения дают формулы:

4. Если функция имеет частную производную по одной из переменных, то она имеет частную производную по другой переменной и смешанную производную второго порядка, равную .

5.Допустим, что сходятся и неперерывны интегралы

и

Тогда функции распределения и составляющих и дифференцируемы, и и их плотности, соответственно:

,

6. Допустим, что интегралы

и

сходятся и неперерывны, а интегралы

и

сходятся. Тогда составляющие и имеют математические ожидания, которые вычисляются по формулам

.

7. Допустим, что интегралы

и

сходятся и неперерывны, а интегралы

и

сходятся. Тогда составляющие и имеют дисперсии, которые вычисляются по формулам

и .

Рекомендуемая литература

1. Н.Ш. Кремер. Теория вероятностей и математическая

статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

2. В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2004.