Измеримые множества. Площадь. Интеграл по измеримому множеству

Определение 1. Замкнутое ограниченное множество называется измеримым, если имеет двумерный объем 0.

Так как

,

,

объединение и пересечение двух, и тем самым любого конечного числа, измеримых множеств измеримо.

Определение 2. Площадь измеримого множества С полагают равной .

Теорема1. Пусть – измеримые подмножества , такие, что , f – непрерывная на С функция. Тогда

.

В частности, .

Пусть – замкнутое ограниченное множество. Наибольшее из чисел называется диаметром С и обозначается . Пусть С – измеримое множество. Разобьем С на измеримые части , попарно пересекающиеся лишь по своим границам, и пусть . Предположим,что на множестве С задана непрерывная функция f.

Теорема2. .

Эта теорема обеспечивает многочисленные приложения двойного интеграла.