Определение и свойства двойного интеграла функции, заданной на прямоугольнике

Определение 1. Пусть прямоугольник, – разбиение отрезка , – разбиение отрезка . Пару Р =(Р₁, Р₂) будем называть разбиением прямоугольника А.

Определение 2. Прямоугольники , на которые разбиение Р делит прямоугольник , мы будем называть прямоугольниками разбиения Р.

Определение 3.
Пусть – диаметр разбиения Р₁, – диаметр разбиения Р₂. Мы будем называть число диаметром разбиения Р и обозначать .

Различные параллелепипеды разбиения Р могут пересекаться лишь по своим границам. Площадь прямоугольника А равна сумме площадей прямоугольников разбиения Р.

Определение 4. Пусть на прямоугольнике задана функция – произвольная точка параллелепипеда . Составим двойную сумму

, (1)

котрую будем называть интегральной суммой.

Число I есть пределом интегральных сумм (1) при условии, что , если такое, что лишь только , неравенство

имеет место при любом выборе точек .

В том случае, когда предел I существует, его называют двойным интегралом и обозначают , а функцию f называют интегрируемой.

Двойной интеграл обладает теми же свойствами, что и интеграл Римана:

1. Если функция f непрерывна, то она интегрируема;

2. Пусть a и b – какие-либо числа, f и g – функции, интегрируемые на А. Тогда функция a f (х, у)+bg(х, у) интегрируема на А, и при этом

.

3. Если неотрицательная функция f интегрируема на А, то ;

4. Если f и g интегрируемые функции, и f (х, у)³g(х, у) "(х,y) ÎА, то ;

5. Если f (х, у) интегрируема на А, то интегрируема на А, и при этом

;

6) Пусть f интегрируема на А, Р – произвольное разбиение А. Тогда f интегрируема на каждом и

.

Обратно, если найдется разбиение Р такое, что и существует , то функция f интегрируема на прямоугольнике А.

7) Если f (х, у)=С для "(х, у)ÎА, то

,

где – площадь прямоугольника А, которая равна .