Определение двойного интеграла по ограниченному множеству

Пусть С – ограниченное множество, f – функция, заданная на С. Обозначим через А какой-либо прямоугольник, содержащий С, через f ₀(х, у) – функцию на А, определенную на равенством

Мы будем говорить, что функция f интегрируема на множестве С, если и полагать

.

Для того чтобы ответить на вопрос когда существует интеграл по ограниченному множеству, дадим следующее определение.

Определение 1. Пусть . Мы будем говорить, что множество С имеет двумерный объем 0, если конечное число прямоугольников А₁, …, А _р таких, что .

Очевидно, объединение конечного числа подмножеств имеющих объем 0 есть также множество объема 0.

Теорема1. Пусть функция f непрерывна на отрезке . Тогда ее график имеет двумерный объем 0.

Теорема2. Пусть С – замкнутое ограниченное множество, f – непрерывная на С функция. существует тогда и только тогда, когда граница множества С имеет двумерный объем 0.