Решение. 1. Данная система один раз статически неопределима, так как имеет 4 связи: шарнирно-неподвижная опора накладывает две связи и шарнирно-прикреплённые стержни 1

1. Данная система один раз статически неопределима, так как имеет 4 связи: шарнирно-неподвижная опора накладывает две связи и шарнирно-прикреплённые стержни 1 и 2 – по одной.

В данной задаче из трёх уравнений равновесия можно использовать лишь одно: сумма моментов всех сил относительно точки (точки, где расположена шарнирно-неподвижная опора) должна быть равна нулю.

. (1)

Это связано с тем, что в уравнение (1) не войдут реакции шарнирно-неподвижной опоры, а их значения не потребуются при нахождении площадей сечения стержней 1 и 2.

Заметим, что составление уравнений равновесия (уравнений статики) называют статической стороной задачи. Запишем уравнение (1):

,

. (2)

В этом уравнении два неизвестных, поэтому для нахождения усилий в стержнях и нужно составить ещё одно уравнение, которое составим, обозначив на чертеже деформации 1-го и 2-го стержней как и (рис. 4) и составив подобие треугольников:

, (3)

где . Составление таких уравнений, связанных с перемещениями, называют геометрической стороной задачи, а само уравнение (3) – уравнением перемещений.

Рис. 4

Запишем в (3) деформации и через усилия и и жёсткости стержней и :

, или .

Отсюда получим связь усилий и :

. (4)

Подставим (4) в уравнение (2):

.

Это уравнение позволяет вычислить усилие . Второе усилие найдём по (4): .

Вычислим напряжения в стержнях:

,

.

2. Найдём площади сечений по методу допускаемых напряжений. Так какнаибольшее напряжение будет во 2-м стержне, то воспользуемся условием прочности для 2-го стержня, которое запишем в виде:

,

откуда м².

Принимаем м² см² и тогда

см², см².

3. При определении величины площади по методу разрушающих нагрузок следует иметь в виду, что во 2-м стержне напряжение больше, чем в 1-м. При увеличении нагрузки напряжение во 2-м стержне достигает предела текучести ранее, чем в 1-м. Когда это произойдёт, напряжение во 2-м стержне не будет некоторое время расти даже при увеличении нагрузки: система станет как бы статически определимой и нагруженной силой и усилием во 2-м стержне, равном

. (5)

При дальнейшем увеличении нагрузки напряжение в 1-м стержне достигнет предела текучести и станет равным

. (6)

В этот момент система достигла предельного состояния, при котором сила достигла предельного значения . Напишем уравнение предельного равновесия по (1), подставив в него значение усилий (5) и (6):

или, подставив и , запишем

Найдём из этого уравнения предельную силу :

.

Тогда допускаемая нагрузка

.

По условию задачи кН, следовательно, из последнего выражения величина площади

м².

Принимаем м² см² и тогда

см², см².

Сравнивая площади поперечных сечений стержней по методу допускаемых напряжений и по методу разрушающих нагрузок, видим, что последний метод дал значения на меньше.

Задача 3

Для бруса с жёстко заделанными обоими концами и нагруженного, как показано на схеме (рис. 5), требуется:

1. Построить эпюры продольных сил , нормальных напряжений и перемещений .

2. Подобрать величину площадей поперечных сечений всех участков бруса по методу допускаемых напряжений, если МПа.

Значение силы кН, расстояние м.

Необходимые данные задачи взять из таблицы 4.