ТЕМА 7. Сложное сопротивление

Литература: [1, гл. 9], [2, гл.12].

Косой изгиб прямого бруса: определение; эпюры изгибающих моментов; напряжения в поперечном сечении; нулевая (нейтральная) линия; условия прочности; перемещения.

Внецентренное растяжение-сжатие прямого бруса: определение; эпюры внутренних усилий; напряжения в поперечном сечении; нулевая (нейтральная) линия; условия прочности; ядро сечения.

Изгиб с кручением бруса круглого и прямоугольного сечений: определение; эпюры изгибающих и крутящих моментов; напряжённое состояние в характерных точках сечения, условия прочности по 3-ей и 4-ой теориям прочности.

Общий случай сложного сопротивления: одновременное растяжение (сжатие), изгиб в двух плоскостях и кручение. Плоские и пространственные рамы: определение; эпюры внутренних усилий. Расчёт на прочность по 3-ей и 4-ой теориям прочности.

· Указание к изучению. Сначала изучается частный случай изгиба – косой изгиб. Он имеет место в случае, когда силовая линия в сечении балки не является главной осью. При этом плоскость деформации не совпадает с силовой плоскостью. Косой изгиб удобно рассматривать как одновременный изгиб бруса в двух взаимно перпендикулярных главных плоскостях. Явление косого изгиба особенно опасно для сечений со значительно отличающимися друг от друга главными моментами инерции (например, для двутавра). Балка с таким сечением хорошо работает на изгиб в плоскости наибольшей жёсткости, но даже при небольших углах наклона плоскости внешних сил к плоскости наибольшей жёсткости возникают значительные дополнительные напряжения и деформации. Следует заметить, что для балок, сечения которых правильные фигуры, косой изгиб невозможен, так как у них любая центральная ось является главной осью.

Следующий случай сложного сопротивления – это внецентренное растяжение-сжатие или изгиб с продольной силой. При определении напряжений здесь необходимо знать положение главных центральных осей сечений. Именно от этих осей рассчитывают расстояния до точки приложения силы (полюса силы) и точки, в которой определяется напряжение. Следует обратить внимание на то, что приложенная эксцентрично сжимающая сила может вызвать в поперечном сечении стержня растягивающие напряжения. В связи с этим внецентренное сжатие является особенно опасным для стержней из хрупких материалов (кирпича, чугуна, бетона), которые слабо сопротивляются растягивающим усилиям.

Положение нейтральной линии зависит от положения полюса силы: если полюс находится внутри ядра сечения, то нейтральная линия проходит вне поперечного сечения, если же полюс силы находится вне ядра сечения, то нейтральная линия пересекает поперечное сечение.

Третьим видом сложного сопротивления рассматривается изгиб с кручением. Здесь одновременно возникают от изгибающего момента нормальные напряжения и от крутящего момента касательные напряжения , и проверка прочности производится по теориям прочности, в которых используются главные напряжения.

Следует отметить также общий случай сложного сопротивления, когда стержень испытывает одновременно растяжение (сжатие), изгиб в двух плоскостях и кручение. Напряжения и в каком-либо поперечном сечении зависят от величин , , , , , и расчёт на прочность должен выполнятся так же по теориям прочности.

Вопросы для самопроверки

1. Какие виды сложного сопротивления Вам известны?

2. Какой случай изгиба называется косым изгибом?

3. В каких точках прямоугольного и двутаврого сечений возникают наибольшие напряжения при косом изгибе? Запишите формулу для их вычисления.

4. Как найти положение нейтральной (нулевой) линии при косом изгибе?

5. Как вычислить перемещения при косом изгибе?

6. Для каких случаев поперечного сечения не возникает косого изгиба?

7. Запишите формулу для вычисления нормальных напряжений при внецентренном растяжении-сжатии. Чему равно напряжение в центре тяжести сечения?

8. Как найти положение нейтральной (нулевой) линии при внецентренном растяжении-сжатии?

9. Как строится ядро сечения?

10. Как найти опасное сечение при изгибе с кручением?

11. В каких точках поперечного круглого и прямоугольного сечений возникают наибольшие нормальные напряжения и наибольшие касательные напряжения при изгибе с кручением?

12. Запишите условие прочности при изгибе с кручением круглого и прямоугольного сечений при изгибе с кручением? Как найти расчётный момент для круглого сечения?

ТЕМА 8. Общие методы определения перемещений в брусе при произвольной нагрузке.

Литература: [1, гл. 11], [2, гл. 13].

Потенциальная энергия деформации бруса при произвольной нагрузке. Теорема Кастилиано. Интеграл Мора. Метод Мора для перемещений; способ Верещагина.

· Указание к изучению. Изучаются общие методы определения перемещений для случая, когда в поперечных сечениях бруса возникают нормальные и поперечные силы, крутящий и изгибающий моменты одновременно. Определение перемещений необходимо для выявления самих перемещений, оценки жёсткости конструкции, для решения статически неопределимых систем, а также при изучении колебания упругих систем. Перемещения легче всего находить по формулам, полученным на основе общего выражения потенциальной энергии бруса.

Целесообразно изучать перемещения с помощью интеграла Мора, позволяющего определить их для любых точек и в любом направлении. Интеграл Мора в общем виде записывается так:

.

Для большей части встречающихся на практике упругих систем, элементы которых работают на изгиб и кручение, пренебрегают в виду их малости тремя слагаемыми, содержащими поперечные и продольные силы, и учитывают только моменты. В других случаях, например, при изучении ферм, в которых возникают только продольные силы N, в интеграле Мора остается лишь одно слагаемое с продольными силами N.

Вычисление интеграла Мора для систем с прямолинейной осью при постоянной жёсткости каждого участка значительно упрощает способ Верещагина. Последовательность определения перемещений по этому способу следующая: вначале строят эпюру внутренних силовых факторов от заданной нагрузки, далее упругую систему освобождают от заданной нагрузки и к ней прикладывают силу или момент, равный единице (в зависимости от того, что определяют: линейное или угловое перемещение), строят эпюры внутренних единичных факторов и, наконец, эпюры перемножают по способу Верещагина.

Вопросы для самопроверки

1. Как записывается выражение для потенциальной энергии через внутренние усилия?

2. Какие члены интеграла Мора сохраняются при решении плоских рам? при решении стержневых систем?

3. В чём сущность способа Верещагина?

ТЕМА 9. Расчёт статически неопределимых стержневых систем.

Литература: [1, гл. 12], [2, гл. 14].

Понятие о степенях свободы и связях. Необходимые и лишние связи. Метод сил: канонические уравнения и коэффициенты этих уравнений; грузовое, единичные и суммарное состояния. Выбор основной системы для плоских рам и замкнутого контура. Учёт прямой и обратной симметрии.

Неразрезные балки и метод трёх моментов для раскрытия их неопределимости. Учёт осадки опор.

· Указание к изучению. Изучают системы, в любом сечении которых значения внутренних усилий не могут быть найдены при помощи одних только уравнений равновесия. Такие упругие системы называются статически неопределимыми. Раскрыть статическую неопределимость системы можно, используя, в частности, метод сил.

Система считается геометрически неизменяемой в случае, если любое её сечение перемещается только за счёт деформации ее элементов. Геометрическую неизменяемость системы обеспечивают связи, накладываемые на неё. Различают связи необходимые и лишние. Раскрытие статической неопределимости предусматривает составление дополнительных уравнений, с помощью которых можно определить усилия лишних связей. Различают внешние и внутренние лишние связи. В соответствии с этим называют внешние и внутренние статически неопределимые системы.

Раскрытие статической неопределимости начинается с освобождения её от лишних связей без нарушения геометрической неизменяемости и замены их силами и моментами, которые подбирают так, чтобы перемещения в системе соответствовали ограничениям, накладываемым на систему отброшенными связями.

Порядок раскрытия статической неопределимости обычно следующий.

1. Определяют степень статической неопределимости, то есть количество недостающих уравнений.

2. Записывают канонические уравнения метода сил, которые для -раз статически неопределимых систем имеют вид

где чертой с индексом, например , показаны уравнения для решения два раза статически неопределимой системы и т.д.

3. Выбирают основную систему, которую получают, отбросив лишние связи из заданной системы, причём выбор нужно сделать такой, чтобы решение было наиболее простым.

4. Показывают статически эквивалентную систему, полученную из основной системы в результате нагружения её заданными нагрузками и неизвестными усилиями , , …, взамен отброшенных связей.

5. Строят эпюры грузовых моментов от заданных сил в основной системе (её помечают индексом Р) и эпюры единичных моментов (от каждого единичного воздействия , , …, в основной системе по отдельности, их помечают индексами 1, 2, 3 и т.д.).

6. Перемножая эпюры по способу Верещагина или вычисляя интеграл Мора, находят значения коэффициентов , , , входящих в канонические уравнения.

7. Решая систему канонических уравнений, находят неизвестные , ,…, по направлению соответствующих лишних связей.

8. Значения нагрузки и найденных , ,…, показывают в эквивалентной системе и строят эпюры внутренних силовых факторов.

Вопросы для самопроверки

1. Как определяется степень статической неопределимости?

2. Что называется заданной, основной, эквивалентной системами?

3. С помощью каких уравнений находят величины лишних реактивных усилий?

4. Какие перемещения называют главными и какие побочными?

5. Какие упругие системы называют симметричными и какие кососимметричными? Какие основные системы целесесообразно для них принимать?

6. Назовите симметричные и обратно симметричные внутренние усилия.

7. В какой последовательности ведется расчёт статически неопределимых систем?