ТЕМА 6. Теория напряжённо-деформированного состояния в точке и теории прочности

Литература:[1, гл. 3 и 8], [2, гл. 6 и 7].

Определение линейного, плоского и объёмного напряженного состояния в точке.

Полное, нормальное и касательное напряжения при плоском напряженном состоянии. Главные оси и главные напряжения. Экстремальные касательные напряжения. Круговая диаграмма Мора.

Деформированное состояние в точке. Обобщённый закон Гука для изотропного материала. Изменение объема. Удельная потенциальная энергия упругой деформации: полная, изменения объёма, изменения формы.

Необходимость создания теорий прочности; основные теории прочности: теория наибольших нормальных напряжений, теория наибольших относительных удлинений, теория максимальных касательных напряжений, теория удельной потенциальной энергии изменения формы; теория Мора. Условия прочности по этим теориям.

· Указание к изучению. Главные напряжения играют весьма важную роль при решении вопроса о прочности материала: одно из этих напряжений является наибольшим, а другое – наименьшим из всех нормальных напряжений для данной точки.

Если воспользоваться методом сечений и мысленно рассечь тело, нагруженное внешними силами, и отбросить одну часть, то внешние силы уравновесятся силами воздействия отброшенной части тела. Эти силы для всего тела являются внутренними, а для каждой его части внешними. Если так же рассматривать какую-нибудь точку в сечении, то для неё можно найти напряжение. Если через эту точку провести другие плоскости, то каждый раз напряжение в этой же точке, но для другой плоскости будет другим. С учётом этого в общем случае имеет место не просто напряжение в точке, а напряженное состояние в точке.

Основной задачей исследования напряжённого состояния является определение напряжений по произвольной площадке, проходящей через данную точку, положения главных площадок и значений главных напряжений.

Среди бесконечно большого числа площадок, проходящих через данную точку тела, всегда найдется, по крайней мере, три взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения отсутствуют. Эти площадки носят название главных площадок, а нормальные напряжения в них – главных напряжений.

При линейном напряженном состоянии вопрос о прочности материала решается легко: следует определить опасное напряжение из опыта на простое растяжение (или сжатие), назначить коэффициент запаса и сравнить главное напряжение с допускаемым напряжением:

.

В случае плоского или объёмного напряжённого состояния задача значительно усложняется, так как неизвестно, при какой комбинации числовых значений главных напряжений наступит опасное состояние материала. Необходимо, следовательно, найти расчётное (или эквивалентное) напряжение, зависящее от главных напряжений, при котором возникает опасность разрушения, а затем числовое его значение сравнить с допускаемым напряжением, установленным из опыта на осевое растяжение (или сжатие). В зависимости от того, какой фактор по данной теории прочности считается решающим и создающим опасное состояние материала, получим различные расчётные формулы.

Предположение о равнопрочности двух элементов, находящихся в различных напряженных состояниях, носит название гипотезы, или теории прочности. Одноосное напряженное состояние, равнопрочное данному, называется эквивалентным, а его главное напряжение – эквивалентным напряжением и обозначается .

При изучении темы следует обратить внимание на теории наибольших касательных напряжений и энергетическую теорию формоизменения, а также на области применения этих теорий.

Вопросы для самопроверки

1. Какие существуют виды напряжённого состояния в точке?

2. Какие существуют элементы напряжённого состояния в точке и какие из них независимые?

3. Что называется главными площадками, главными напряжениями, главными осями в точке?

4. Как найти главные площадки и главные напряжения в точке?

5. Как определяются экстремальные касательные напряжения?

6. Дайте краткий обзор теорий прочности.