Пример выполнения задачи 7

Выполнить расчёт балки (рис. 15) согласно условию задачи 7 при следующих данных: кН×м; кН; кН/м; м.

Решение

1. Опорные реакции и направим вверх. На балку не действуют горизонтальные силы, поэтому на опоре будет только вертикальная реакция.

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

Величины и направления реакций определяются из уравнений равновесия балки , , которые выражают равенство нулю суммы моментов всех внешних сил относительно опорных шарниров и .

Для составления этих уравнений можно распределённую нагрузку представить её равнодействующей, приложенной к середине второго участка. Сосредоточенный момент учтём непосредственно, без умножения на какое-либо плечо. Правило знаков для моментов при вычислении опорных реакций в пределах одного уравнения можно принять произвольно. Для определенности считаем положительными моменты, действующие против часовой стрелки, тогда

: ;

кН;

: ;

кН.

Знак «плюс» полученных реакций указывает на истинность выбранного направления этих сил.

Дополнительное уравнение можно использовать для проверки полученного результата:

, , .

2. В поперечных сечениях балки возникают изгибающие моменты и поперечные силы .

При решении задачи используем известное правило знаков внутренних усилий: поперечная сила в сечении положительна, если её вектор стремится повернуть рассматриваемую часть по часовой стрелке; изгибающий момент в сечении будем считать положительным, если балка изгибается выпуклой стороной вниз (рис. 16).

Рис. 16

Разобьём балку на три силовых участка. Границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные моменты и силы, а также начало и конец распределённой нагрузки. Используя метод сечений, найдём изгибающие моменты и поперечные силы на каждом участке.

Рассмотрим первый участок: , где – координата текущего сечения. Кусок первого участка балки длиной , расположенный по левую сторону от этого сечения, находится в равновесии. Слева от сечения расположены силы и момент , поэтому

кН, .

Аналитическое выражение для определения величины поперечной силы не содержит переменных, следовательно, на участке . На эпюре значение кН отложим вверх от нулевой линии.

Аналитическое выражение соответствует уравнению прямой. Для вычисления присваиваем координате частные (их ещё называют граничными) значения: и . Получаем

кН×м; кН×м.

На эпюре M проводим наклонную прямую.

Рассмотрим второй участок: . Возьмём участок балки слева от сечения:

; .

Аналитически выражение соответствует уравнению прямой. Для построения эпюры вычисляем её граничные значения (значения для координат и ).

кН, кН.

Функция – квадратная парабола. Поэтому для построения эпюры надо знать координаты трёх точек в начале, в конце участка и в точке, где эпюра имеет экстремум и . Величину определяем из уравнения

: ; м.

Получаем кН×м;

кН×м;

кН×м.

По найденным значениям строим эпюры и на втором участке.

Третий участок: . Найдём величины и в текущем сечении . Рассмотрим участок балки длиной по правую сторону от сечения. Справа от сечения расположена только одна сила , поэтому

кН; .

Аналитическое выражение для определения величины поперечной силы не содержит переменных, следовательно, на третьем участке . На эпюре отложим от нулевой линии кН.

Аналитическое выражение соответствует уравнению прямой. Для построения эпюры присваиваем координате частные значения и вычисляем моменты.

; кН×м.

По найденным значениям строим эпюру на третьем участке.

Проверим правильность построения эпюр и по следующим правилам, вытекающим из дифференциальных зависимостей при изгибе:

, , .

· На участке, где отсутствует распределенная нагрузка () и эпюра имеет вид прямоугольника, эпюра ограничена наклонной прямой (см. 1-й и 3-й участки).

· На участке, где имеется равномерно распределённая нагрузка , эпюра – наклонная прямая, а эпюра – квадратная парабола. Выпуклость параболы должна быть обращена навстречу распределённой нагрузки (см. 2-й участок).

· При положительном значении имеем возрастающую функцию , при отрицательном – убывающую (при ходе слева направо).

· Если на участке , то изгибающий момент есть величина постоянная, (случай чистого изгиба).

· Если поперечная сила на участке проходит через нулевое значение , меняя знак, то функция в этом сечении имеет экстремальное значение. При этом (ход слева направо), если меняется знак с плюса на минус, изгибающий момент принимает значение (см. 2-й участок), если знак меняется с минуса на плюс – на эпюре моментов .

· В сечении, к которому приложена сосредоточенная сила, на эпюре отмечается скачок на величину этой силы, на эпюре – излом в направлении, обратном действию этой силы (см. сечение на опоре ).

· В сечениях, к которым приложен сосредоточенный момент, на эпюре моментов наблюдается скачок на величину этого момента (см. на опоре ).

· Если к концу консоли (см. сечение, где приложена сила ) или к концевой шарнирной опоре не приложен момент, то в концевом сечении , что имеет место в большинстве случаев.

3. Размеры указанного вида поперечного сечения балки подбираем из условия прочности балки по нормальным напряжениям

, (1)

где – наибольший по абсолютной величине изгибающий момент, взятый из эпюры моментов , в нашем примере моменты кН×м возникают над опорами и (сечение балки с называют опасным сечением).

Используя условие прочности по (1) для стальной балки, вычислим требуемое значение осевого момента сопротивления сечения

м³ см³.

Выполним подбор двутаврого сечения. По таблице ГОСТ 8239-89 (см. табл. 13 приложения) выбираем профиль № 18 с см³.

Выполним подбор диаметра кольцевого сечения балки. Для балки кольцевого поперечного сечения момент сопротивления , где . Так как требуемый момент сопротивления см³, то требуемый диаметр кольцевого сечения

см.

Принимаем см. Тогда внутренний диаметр сечения см.

Выполним подбор швеллерового сечения. Для поперечного сечения стальной балки, состоящей из двух швеллеров, учтём, что момент сопротивления относительно оси равен удвоенному моменту сопротивления одного швеллера, поэтому

см³, см³.

По таблице ГОСТ 8240-89 (см. табл. 14 приложения) выбираем два швеллера № 14 с см³.

Выполним подбор сечения деревянной балки. Для деревянной балки из условия прочности (1) требуемое значение осевого момента сопротивления сечения

м³ см³.

Для круглого поперечного сечения

, тогда см.

Принимаем см.

Для прямоугольного поперечного сечения , поэтому высота сечения

см.

Принимаем высоту см, тогда ширина сечения см.

Вычертим в масштабе двутавровое поперечное сечение для стальной балки, прямоугольное и круглое поперечное сечения для деревянной (рис. 17).

Рис. 17

Для балки двутаврового поперечного сечения строим эпюру нормальных напряжений, используя значения нормальных напряжений при изгибе, которые вычислим по формуле

,

где – расстояние от нейтральной оси до точки, в которой определяется напряжение. Для точек 1, 2, 3, 4 имеем

см, см, см, .

Для рассматриваемого двутавра №18 по таблице ГОСТ 8239-89 (см. табл. 13 приложения) выбираем см⁴. Посчитаем напряжения в точках 1, 2, 3, 4:

Па МПа;

Па МПа;

Па МПа;

.

Отложив в масштабе полученные величины напряжений, строим эпюру напряжений (рис. 18).

Рис. 18

4. Определим прогиб и угол поворота сечения балки соответственно в точках и (рис. 15).

Согласно методу начальных параметров для любого сечения уравнение углов поворота имеет вид

,

а уравнение прогибов следующее:

,

где , – угол поворота и прогиб сечения балки в начале координат; , , – соответственно расстояние от начала координат до точек приложения сосредоточенных силовых факторов или и до начала равномерно распределенной нагрузки интенсивностью ; – жесткость балки, принять одинаковой для всех участков.

Необходимо выполнять следующие правила.

· Начальные параметры и определяются из опорных закреплений балки.

· Начало координат выбирают на конце балки, левом или правом, в зависимости от удобства вычислений, и оставляют постоянным для всех участков.

· Эти уравнения можно применять для любого сечения балки, но в каждом частном случае следует использовать лишь члены, соответствующие нагрузкам, расположенным между началом координат и соответствующим сечением, т.е. необходимо, чтобы множители , и в любом случае были больше нуля.

· При составлении этих уравнений принимались нагрузки, вызывающие положительный изгибающий момент в рассматриваемом участке балки. Поэтому в каждом частном случае нужно установить, какой по знаку изгибающий момент вызывает данная нагрузка: если положительный, то сохраняется знак «плюс» соответствующего члена уравнения; если отрицательный, ставить знак «минус».

· Знак указывает на то, что нагрузок данного типа может быть несколько.

· Необходимо помнить, что при обрыве распределённой нагрузки её следует продолжить до конца балки, добавив одновременно компенсирующую нагрузку той же интенсивности.

Подсчитаем жёсткость сечения стальной двутавровой балки профиля № 18. Момент инерции сечения балки см⁴, МПа.

кН×м⁴.

Начало координат расположим на шарнирно-неподвижной опоре. Следовательно, начальный параметр , так как прогиб на опоре равен 0. Начальный параметр определим из уравнения прогибов на опоре , где прогиб равен нулю. При этом координата м, расстояния и м. Тогда

,

откуда

рад.

Знак «плюс» полученного результата указывает на поворот сечения против часовой стрелки.

Угол поворота сечения – это угол поворота над опорой : . Его значение определим, подставив найденное значение и , м в уравнение углов поворота, составленное для сечения :

,

тогда

рад.

Прогиб сечения определим, подставив в уравнение прогибов м и найденное значение :

,

отсюда

м см.

Знак «минус» полученного результата показывает, что прогиб сечения произошел вниз.