Теоретические сведения. Уравнение называется дифференциальным относительно некоторой искомой функции, если оно содержит хотя бы одну производную этой функции

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимисяпеременными.

Пример 1. Решить уравнение

Решение:

Запишем это уравнение в виде

2. Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида в котором функции M(x;y) и N(x;y) однородные одного и того же измерения.

Однородные уравнения решаются с помощью подстановки

Пример 2. Решить уравнение если

Решение:

Пусть

Подставив y и dy в данное уравнение, получим

(уравнение с разделяющимися переменными).

Обратная замена даёт общее решение

Для нахождения частного условия воспользуемся условием

Тогда или

Пример 3. Решить уравнение

Решение:

Воспользуемся подстановкой:

Получим:

Вычислим интеграл отдельно:

Таким образом,

Обратная замена переменной даёт общее решение:

3. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение где p(x) и q(x) – заданные непрерывные в интервале (a;b) функции.

Общее решение данного уравнения находим по формуле:

Если q(x)=0, то данное уравнение называется линейным однородным уравнением первого порядка; в противном случае – линейным неоднородным уравнением первого порядка. Следовательно, линейное однородное уравнение первого порядка имеет вид

Формула общего решения данного уравнения имеет вид:

Пример 4. Решить уравнение

Решение:

Воспользуемся формулой

Получим:

Пример 5. Решить уравнение

Решение:

Воспользуемся формулой

В данном уравнении подставим эти функции в формулу, получим:

Вычислим интеграл отдельно:

Таким образом: