Теоретические сведения. В природе иногда встречаются процессы, в которых исследуемая величина является функцией двух, трех и т

В природе иногда встречаются процессы, в которых исследуемая величина является функцией двух, трех и т. д. других величин. Так, в термодинамике температура идеального газа T зависит от давления p и объема V. Если каждому набору аргументов …, ставится в соответствие число то говорят, что задана функция n переменных

y = f (x 1, x 2, …, xn).

Число A называется пределом функции f (x ₁, x ₂, …, x_n) по подмножеству M области определения функции при (x ₁; x ₂; …; x_n) → (a ₁; a ₂; …; a_n), если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что на пересечении δ-окрестности точки A (кроме, быть может, самой точки A) с подмножеством M для всех x = (x ₁; x ₂; …; x_n) выполняется неравенство

| f (x) – A | < ε.

В этом случае пишут

Пусть функция двух переменных f (x, y) определена в некоторой окрестности точки (x ₀; y ₀). Пределом функции f (x, y) в точке (x ₀; y ₀) по направлению l = (cos α, sin α) называется число

где L – луч, выходящий из точки (x ₀; y ₀) в направлении l.

Пусть функция f (x ₁, x ₂, …, x_n) определена в окрестности точки a = (a ₁; a ₂; …; a_n). Рассмотрим функцию одной переменной f (x ₁, a ₂, …, a_n). Она может иметь производную по своей переменной x ₁. Такая производная по определению называется частной производной в точке

Аналогично определяются частные производные функции f по другим переменным.

Поскольку при вычислении частных производных все переменные, кроме одной, фиксируются, правила вычисления частной производной точно такие же, как и обычной производной.

Функция f (x ₁, x ₂, …, x_n) называется дифференцируемой в точке a = (a ₁; a ₂; …; a_n), если она определена в некоторой окрестности этой точки и существуют такие числа A ₁, A ₂, …, A_n, что

Функция f (x ₁, x ₂, …, x_n) дифференцируема в точке a тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности a функция f (x) может быть представлена в следующем виде:

где функции непрерывны в точке a.

Если функция дифференцируема в точке a, то в окрестности a существуют все частные производные и

Обратное, вообще говоря, неверно.