Общей арифметической средины

На основании определения веса, используя формулу (56), можно написать

; , (64)

где M_o – средняя квадратическая погрешность общей арифметической средины, [р] - вес арифметической средины.

Тогда

, (65)

то есть средняя квадратическая погрешность общей арифметической средины равна средней квадратической погрешности отдельного измерения с весом, равным единице, деленной на корень квадратный из суммы весов данного ряда измерений.

Подставив сюда значение средней квадратической погрешности измерения с весом, равным единице (62), получим

. (66)

то есть средняя квадратическая погрешность арифметической средины равна средней квадратической погрешности отдельного неравноточного измерения, деленной на корень квадратный из числа измерений.

Пример. Горизонтальный угол многократно измерен теодолитом. Результаты его, полученные из разного числа приемов, приведены в табл. 5.

Таблица 5

Величина угла	Число приемов	Вес р	δ	р . δ	δ2	δ2 . р
430 08¢			+0,2 +2,2 -0,8	+0,4 +2,2 -2,4	0,04 4,84 0,64	0,08 4,84 1,92
		[р]=6		[рδ]=+0,2		[δ2р]=6,84

Найти вероятнейшее значение угла (общую арифметическую средину) и его среднюю квадратическую погрешность.

Сначала определяем вес каждого результата, который можно принять равным числу приемов, гр. 3 (чем больше приемов, тем больше степень доверия к результату).

Затем находим общую арифметическую средину, которая будет равна сумме произведений результатов измерений (гр. 1) и соответствующих весов (гр. 3), деленной на сумму весов,

.

После этого вычисляем вероятнейшие погрешности (гр. 4) по вышеприведенным зависимостям (δ _i = 1_i – х_о) и все остальные величины (гр. 5-7).

Подставляя найденные величины в формулу (59) и дальше в формулу (65), получим

,

; .

Пример. От трех марок высокоточного нивелирования определена техническим нивелированием отметка точки А (рис. 5). Результаты нивелирования приведены в табл. 6, гр. 1.

Таблица 6

1 = Н, м	Длина хода км	Вес р¢	Вес р	δ мм	δр мм	рδ2
124, 360		1/1 1/2 1/6		-2 +18 -42	-12 +54 -42
	S =

Определить: а) вероятнейшее значение отметки точки А,

б) среднюю квадратическую погрешность результата с весом, равным единице,

в) среднюю квадратическую погрешность отдельных результатов нивелирования,

г) среднюю квадратическую погрешность вероятнейшего значения (общей арифметической средины).

Сначала определяем вес каждого результата нивелирования, который можно принять равным величине, обратной длине хода, гр. 3 (чем меньше длина хода, тем больше степень доверия к результату нивелирования). Умножив веса на 6, получим их величины в целых числах, гр. 4.

Рис. 5. Схема определения отметки точки Аот трех реперов

геодезической опорной сети

Затем находим общую арифметическую средину, по аналогии с предыдущим, то есть

.

После этого вычисляем вероятнейшие погрешности и значения остальных граф табл. 6, гр. 5-7.

Подставляя найденные величины в формулы (59), (62) и (65), получим

,

; ; .

Следовательно, отметки точки А были получены

Н₁ = 124, 360 м±15 мм, Н₂ = 124, 380 м±21 мм, Н₃ = 124, 320 м±37 мм.

Что касается общей арифметической средины, то

и .

Из рассмотренных выше примеров видно, что в качестве весов можно принимать любые числа, характеризующие или отражающие степень доверия к результатам измерений, например, число приемов, длина хода.