Средняя квадратическая погрешность. Рассмотрим сначала функцию Z = x + y

функции вида Z = x ± y

Рассмотрим сначала функцию Z = x + y.

Допустим, что аргументы х и у независимы и измерены с истинными погрешностями Dх и Dу. Следовательно, и функция Z будет получена так же с погрешностью Dz, то есть можно написать равенство

Z + Dz = x +Dх + y + Dу

или погрешность функции будет равна

Dz = Dх + Dу.

Тогда при n измерениях аргументов будем иметь ряд таких равенств

Dz₁ = Dх₁ + Dу₁

Dz₂ = Dх₂ + Dу₂

Dz₃ = Dх₃ + Dу₃

Dz_n= Dх_n + Dу_n

Для получения средней квадратической погрешности функции данного вида возведем левую и правую части равенства в квадрат, почленно суммируем их и, разделив суммарное равенство на число измерений, получим

.

Учитывая пятое свойство для среднего арифметического из произведений парных случайных погрешностей (6), третий член этого равенства будет равен 0 и не зависит от знака аргументов. Следовательно, для функций вида Z = х ± у будем иметь одно и то же равенство

.

Согласно выражению (20) будем иметь

или , (35)

то есть средняя квадратическая погрешность функций суммы или разности двух аргументов равна корню квадратному на суммы квадратов средних квадратических погрешностей этих аргументов.

Пример. Горизонтальный угол теодолитного хода измерен теодолитом 2Т30. Определить среднюю квадратическую погрешность измеренного угла в полуприеме, если средняя квадратическая погрешность отсчета равна 0,5¢ (последние цифры в типе прибора указывают на точность взятия отсчета по микроскопу, то есть 30¢¢).

Величина угла определяется как разность двух отсчетов

b = N₂ – N₁,

то есть, имеем функцию вида (34), откуда следует

.

Так как , то

Отсюда следует, что средняя квадратическая погрешность функции суммы или разности двух аргументов, измеренных с одинаковой средней квадратической погрешностью, в раза больше средней квадратической погрешности одного аргумента.