Средняя квадратическая погрешность одного измерения

Для оценки точности отдельного измерения в теории погрешностей применяется, как отмечалось выше, средняя квадратическая погрешность, предложенная Гауссом – формула (20).

Применение формулы Гаусса предполагает, что результаты измерений содержат только случайные истинные погрешности, то есть измерению подверглась величина, истинное значение которой известно. Здесь естественно возникает вопрос: зачем вообще измеряем эту величину, если ее значение известно? А если все-таки измеряем, то какова цель таких измерений?

Как правило, такие задачи возникают при испытании новых приборов, способов и методов производства измерений для выработки рекомендаций. Например, при испытании прибора для линейных измерений необходимо знать точное значение длины какой-либо линии (базиса). Тогда, измерив многократно эту линию предлагаемым прибором и найдя случайные истинные погрешности по формуле (2), можно будет оценить по формуле (20) точность линейных измерений данным прибором. Такие измерения (исследования) позволяют выработать соответствующие рекомендации по применению этого прибора в геодезической практике.

Пример. Длина линии, измеренная стальной мерной лентой, оказалась равной D =220, 00 м. Та же линия была 6 раз измерена нитяным дальномером (исследования нитяного дальномера). Результаты измерений приведены в табл. 1, гр. 2, 3.

Таблица 1 № 1 Х D DD n/n м м м 1 2 3 4 5 1 220,90 220,00 +0,9 0,81 2 220,80 220,00 +0,8 0,64 3 219,80 220,00 - 0,5 0,25 4 220,70 220,00 +0,7 0,49 5 219,20 220,00 - 0,8 0,64 6 219,00 220,00 - 1,0 1,00 [D2] = 3,83

Определить среднюю квадратическую погреш-ность md измерения расстояний нитяным дальномером, приняв за истинное значение длины этой линии величину, полученную стальной лентой, Х = D. Такое допущение правомерно, так как точность этого значения в среднем в 7 раз выше точности нитяного

дальномера.

Вычитая из всех полученных нитяным дальномером величин (гр. 2) ее истинное значение (гр. 3), получим ряд случайных истинных погрешностей (гр. 4). Возведя их в квадрат (гр. 5) и суммируя, найдем сумму квадратов случайных истинных погрешностей.

Тогда средняя квадратическая погрешность каждого измерения будет равна

m_d = ± Ö [D D] /n = ± Ö 3,83/6 = ± 0,8 м

или измерение длины линии нитяным дальномером производилась с относительной погрешностью

.

К таким же исследованиям можно отнести сравнительный анализ точности тригонометрического нивелирования по сравнению с высокоточным геометрическим нивелированием или оценку точности суммарных величин измеренных углов в многоугольнике (невязок) для выработки рекомендаций по установлению предельно допустимых угловых невязок в замкнутых (разомкнутых при наличии привязки) ходах съемочных обоснований.

Аналогично можно поступить при определении предельно допустимых невязок в превышениях и приращениях координат. Во всех этих случаях истинное значение тех или иных сумм точно известно. И хотя здесь оцениваются суммы измеренных величин, применение формулы Гаусса правомерно. Для оценки же точности непосредственно измерений необходимо знать функциональную зависимость между ними и конечным результатом.

Наибольшее распространение для оценки непосредственных измерений получила средняя квадратическая погрешность, предложенная Бесселем и преобразованная под использование случайных вероятнейших погрешностей.

В этом случае, произведя многократные измерения одной и той же неизвестной величины, определяются арифметическая средина (10) и соответственно вероятнейшие погрешности (15). Затем по формуле (26) вычисляется средняя квадратическая погрешность каждого измерения.

Пример. В качестве примера рассмотрим для сравнения вышеприведенные измерения при условии отсутствия истинного значения измеряемой величины.

Длина линии была измерена нитяным дальномером 6 раз.

Результаты измерений приведены в табл. 2, гр. 2.

Таблица 2

№ п/п	L м	x0 м	Δ м	δδ
[l]	220,9 220,8 219,5 220,7 219,2 219,0 = 1320,1	220,02 220,02 220,02 220,02 220,02 220,02	+0,88 +0,78 - 0,52 +0,68 - 0,82 - 1,02 [δδ]	0,7744 0,6084 0,2704 0,4624 0,6724 1,0404 = 3,7620

x₀ = [l]/n = 1320,1/6 = 220,02 м.

m₁ = ± Ö [ δδ ]/n – 1 = ± Ö 3,762/5 = ± 0,87 м.

Отсюда видно, что средняя квадратическая погрешность одного измерения практически равна в обоих случаях (табл.1 и 2). Кроме этого, оценивается и конечный результат, то есть арифметическая середина х_о. Так как арифметическая средина является функцией измеренных величин, то оценка точности ее рассматривается ниже