Средняя квадратическая погрешность. Выше рассмотрен вопрос оценки точности непосредственно измеренных величин

функции вида Z = Кх

Выше рассмотрен вопрос оценки точности непосредственно измеренных величин. Однако нередки случаи, когда определяемая величина является функцией других непосредственно измеренных величин. Поэтому возникает вопрос о нахождении средней квадратической погрешности функции измеренных величин.

Наиболее простой функциональной зависимостью будет выражение

Z = Кх, (32)

где Z – функция аргумента х;х – аргумент, полученный путем непосредственного измерения; К – постоянная величина.

Если аргумент х был измерен n раз и каждое измерение сопровождалось случайной истинной погрешностью Dх, то и функция Z будет ошибочной на некоторую случайную истинную величину Dz; можно написать равенство

Z + Dz = К (х + Dх)

или погрешность функции будет равна

Dz = К ^. Dх.

Следовательно, при n измерениях получим ряд таких равенств

Dz₁ = К ^. Dх₁

Dz₂ = К ^. Dх₂

Dz₃ = К ^. Dх₃

Dz_n = К ^. Dх_n

Для определения средней квадратической погрешности функции данного вида возведем левую и правую части равенства в квадрат, почленно суммируем найденные выражения и, разделив суммарное равенство на n, получим

.

Переходя к средним квадратическим погрешностям функции и аргумента, согласно принятому обозначению (20), будем иметь

m²_z = K². m²_x

или

m_z = K. m_x, (33)

то есть средняя квадратическая погрешность функции произведения постоянной на аргумент, полученный из непосредственных измерений, равна произведению постоянной на среднюю квадратическую погрешность аргумента.

Пример. Определить среднюю квадратическую погрешность угла Z, полученного пересечением входящего и выходящего лучей двухзеркального экера, если угол х между зеркалами установлен со средней квадратической погрешностью mх = ± 2¢ (рис. 4).

Рис. 4. Схема пересечения входящего и выходящего лучей двухзеркального экера

Согласно теории двухзеркального экера (экера Адамса)

Z = 2х. (34)

Отсюда

m_z = 2m_x

или, подставляя сюда среднюю квадратическую погрешность аргумента х, получим окончательный результат

m_z = 2. (±2¢) = 4¢.

С такой погрешностью будут выполнены построения прямых углов двухзеркальным экером, если зеркала в нем установлены под углом 45⁰ с указанной выше погрешностью.