Свойства случайных погрешностей

Под случайной погрешностью понимают разность между измеренным значением случайной величины 1 и ее истинным (точным) значением Х при условии исключения, как отмечалось выше, систематических погрешностей

D_i = 1_i – X, (3)

где i = 1, 2, 3,..., n при массовых измерениях данной величины.

В теории погрешностей принимают два постулата:

1) погрешности D_i подчинены нормальному закону распределения;

2) математическое ожидание М(D) = О, что означает отсутствие систематических погрешностей.

В этом случае математическое ожидание искомой величины М(1) равно истинному значению Х.

Плотность нормального распределения случайных погрешностей измерений характеризуется выражением

, (4)

где h = 1/m - мера точности, m – средняя квадратическая погрешность.

Выражение (4) называют уравнением кривой погрешностей, которое впервые было получено знаменитым немецким математиком и геодезистом К.Ф. Гауссом. Уравнению (4) соответствует колоколообразная кривая, которая называется кривой Гаусса (рис.2).

У = φ(Δ)

2.15 13.55 68.30% 13.55 2.15

-3m -2m -m 0 +m +2m +3m

Δ , m

Рис. 2. Кривая погрешностей Гаусса

На рис. 2 изображена кривая погрешностей, анализ которой показывает, что основная масса случайных погрешностей располагается по обе стороны математического ожидания М (D) = О, то есть когда математическое ожидание искомой величины М (1) стремится к истинному значению Х, и распределяется следующим образом: в интервале от – m до + m около 68,3%, свыше этой величины в интервале от –2m до +2m около 27,1%, ещё большие погрешности в интервале от –3m до +3m составляют около 4,3% и за пределами этого интервала всего лишь 0,3%. Последнее значение показывает, что величина погрешности, выходящая за пределы 3m, встречается столь редко, что для решения практических задач с ней можно уже не считаться.

Из анализа выражения (4) и кривой нормального распределения (рис.2) вытекают следующие свойства случайных погрешностей:

1) малые по абсолютной величине погрешности встречаются чаще, чем большие (68,3%);

2) положительные и отрицательные погрешности встречаются одинаково часто;

3) случайные погрешности по абсолютной величине с заданной вероятностью не превосходят определенного предела (3m);

4) среднее арифметическое из значений случайных погрешностей стремится к нулю при неограниченном числе измерений, то есть

, (5)

при n

где [∆] - сокращенно (по Гауссу) обозначена сумма соответствующих величин.

Здесь целесообразно записать дополнительное свойство случайных погрешностей, которое часто встречается в процессе оценки точности определяемой величины и вытекает из четвертого свойства:

5) среднее арифметическое из произведений парных случайных погрешностей стремится к нулю при неограниченном числе измерений, так как и здесь действует свойство компенсации, то есть число положительных и отрицательных значений произведений равновозможно

(6)

при n