Принцип арифметической средины

Для математической обработки результатов геодезических измерений и их оценки необходимо иметь, согласно равенству (2), ряд измерений 1 одной и той же величины Х, принятой за истинное значение. Однако в геодезической практике сравнительно редки случаи, когда истинное значение измеряемой величины заранее известно. В то же время, как отмечалось выше, главнейшей задачей теории погрешностей является определение наиболее достоверного значения измеряемой величины и оценка точности конечного результата.

Пусть дан ряд измерений 1₁, 1₂, 1₃,..., 1_n одной и той же величины Х, выполненных при одинаковых условиях. Даны также значения случайных погрешностей этих измерений D₁, D₂, D₃,..., D_n.

На основании формулы (2) можно записать систему равенств

D₁ = 1₁ – Х

D₂ = 1₂ – Х

D₃ = 1₃ – Х

D_n = 1_n – Х

Сложив почленно левые и правые части этих равенств, получим

D₁ + D₂ + D₃ +... +D_n = 1₁ + 1₂ + 1₃... + 1_n – Х ^. n

или по общепринятому обозначению (5)

[D] = [1] - Х ^. n. (7)

Разделив это равенство на число измерений n, получим

. (8)

Согласно четвертому свойству случайных погрешностей левая часть этого равенства будет равна 0 при неограниченном числе измерений.

Тогда равенство (8) запишется в следующем виде

. (9)

Следовательно, среднее арифметическое из результатов измерений стремится к истинному значению при неограниченном числе измерений определяемой величины.

Обозначим среднее арифметическое через х₀ и запишем

. (10)

Среднее арифметическое число называется арифметическая средина.

Итак, арифметическая средина из результатов измерений является самым надежным и достоверным значением искомой величины и практически равным истинному значению, то есть

Iim х_о = X (11)

при n ®~

Однако в действительности число измерений всегда ограничено и равенство (11) не сохраняется, то есть

х_о ¹Х..

Отсюда имеем:

e = х_о – Х, (12)

где e - случайная погрешность арифметической средины.

Таким образом, при конечном числе измерений арифметическая средина будет нести в себе некоторую погрешность e, которая войдет в значения случайных погрешностей данного ряда измерений,

D - e = 1 – х_о. (13)

Обозначим левую часть равенства (13) через

= D - х_о. (14)

Тогда будем иметь

= 1 – х_о, (15)

где – вероятнейшая погрешность арифметической средины.

Как видно из вышесказанного, вероятнейшая погрешность состоит из истинных случайных погрешностей измерений и постоянной погрешности арифметической средины со свойствами случайной погрешности. Поэтому вероятнейшие погрешности носят случайный характер, обладают всеми свойствами истинных погрешностей и могут использоваться в математической обработке результатов измерений. Кроме того, вероятнейшая погрешность обладает еще одним очень важным свойством.

Пусть имеем ряд измерений: 1₁, 1₂, 1₃,..., 1_n.

Учитывая зависимость (10) и (15), можно написать n равенств

₁ = 1₁ – х_о

₂ = 1₂ – х_о

₃ = 1₃ – х_о

_n = 1_n – х_о

Сложив почленно левые и правые части этих равенств, получим

[ ] = [1] - n ^. х_о

или с учетом равенства (10)

. (16)

Отсюда следует, что сумма вероятных погрешностей при любом числе измерений равна 0.