Геодезических измерений

Чтобы установить критерий для оценки точности данного ряда измерений, необходимо найти способ математической обработки случайных погрешностей этих измерений, который не зависел бы от знаков отдельных погрешностей данного ряда и на котором наличие сравнительно крупных отдельных погрешностей было бы рельефно отражено.

Средняя погрешность θ. Казалось бы, что более естественно оценку точности выполнять по средней погрешности, вычисляемой как среднее арифметическое из абсолютных значений погрешностей, то есть

. (17)

Однако анализ данной формулы показывает, что средняя погрешность практически не реагирует на наличие в ряду измерений крупных погрешностей. Например, имеем два ряда случайных погрешностей измерений:

1 ряд: 3, 2, 4, 2, 1, 0, 4, 3, 2, 3

2 ряд: 0, 1, 7, 2, 1, 1, 8, 0, 3, 1

Средние погрешности этих рядов одинаковы

8₁ = 8₂ = 24/10 = 2,4,

но совершенно очевидно, что измерения второго ряда имеют меньшую точность, чем первого.

Таким образом, средняя погрешность не может служить надежным критерием оценки точности геодезических измерений, особенно при их ограниченном числе. Поэтому иногда считают, что вероятная погрешность лучше характеризует данный ряд измерений.

Вероятная погрешность г. Вероятной погрешностью называется такое значение случайной погрешности в данном ряду измерений, по отношению к которому одинаково возможны погрешности как больше этого значения по абсолютной величине, так и меньше. Если случайные погрешности данного ряда измерений расположить в порядке возрастания их абсолютной величины, то вероятная погрешность будет находиться в середине этого ряда. При наличии достаточно большого ряда измерений таким способом можно приблизительно определить значение вероятной погрешности. Более точно ее значение определяется через среднюю квадратическую ошибку. В теории вероятности доказано, что вероятная погрешность связана со средней квадратической погрешностью соотношением

r = 2m/3» 0,67 ^. m. (18)

В то же время средняя погрешность связана со средней квадратической погрешностью соотношением

q = 4m/5» 0,80 ^. m. (19)

Средняя квадратическая погрешность m. Под средней квадратической погрешностью понимают такую ошибку, квадрат которой равен среднему арифметическому из суммы квадратов истинных случайных погрешностей

или m = . (20)

Средняя квадратическая погрешность более надежно характеризует точность измерений и более рельефно отражает наличие сравнительно крупных погрешностей в данном ряду измерений. Действительно, если оценить измерения для двух вышеприведенных рядов случайных погрешностей, то получим следующие результаты

и ,

то есть второй ряд измерений действительно менее точен, чем первый.

Надежность средней квадратической погрешности характеризуется средней квадратической погрешностью самой средней квадратической погрешности, полученной из эксперимента, которая определяется по формуле

(21)

при n = 8 m_m = 0,25 m.

Отсюда видно, что для достаточно надежной оценки точности геодезических измерений можно ограничиваться уже этим числом измерений n ³ 8.

Предложенная Гауссом формула (20) для оценки точности геодезических измерений предусматривает использование случайных истинных погрешностей. Однако на практике приходится иметь дело и с вероятнейшими погрешностями. В этой связи возникает вопрос о возможности использования принципа средней квадратической погрешности для оценки точности измерений при наличии вероятнейших случайных погрешностей. Для этого необходимо проанализировать взаимосвязь вероятнейших и истинных погрешностей (14).

Пусть имеем ряд измерений и соответственно ряд равенств

D₁ = ₁ + e

D₂ = ₂ + e

D₃ = ₃ + e

D_n = _n + e

Возведя в квадрат левую и правую части этих равенств и сложив их почленно, получим

[D²] = [ ²] + 2 ^. e[ ] + n. e².

Учитывая свойство суммы вероятнейших погрешностей (16), будем иметь

[D²] = [ ²] + n. e². (22)

Сложив почленно левую и правую части исходных равенств и возведя их в квадрат, получим

[D] ² = [ ] ² + 2n ^. e[ ] + n². e².

Учитывая свойство суммы вероятнейших погрешностей (16) и пятое свойство для среднего арифметического из произведений парных случайных погрешностей (6), будем иметь

[D] ² = [D²] = n². e². (23)

Отсюда

. (24)

Подставив найденное значение в равенство (22), получим

(25)

или с учетом (20)

m = (26)

Это выражение средней квадратической погрешности через случайные вероятнейшие погрешности впервые было предложено Бесселем.

Предельная погрешность D_p. Как показал анализ формулы (4) и кривой Гаусса (рис. 2), случайная погрешность может быть больше средней квадратической погрешности в 32 случаях из 100, больше удвоенной средней квадратической только в 5 случаях из 100 и больше утроенной всего лишь в 3 случаях из 1000. Следовательно, почти невероятно, чтобы случайная погрешность измерения превысила утроенную величину средней квадратической погрешности. Поэтому эту величину и считают предельной, то есть

D_пред = 3 ^. m. (27)

На практике, учитывая ограниченное число измерений, в качестве предельной принимают удвоенную среднюю квадратическую погрешность

D_пред = 2 ^. m. (28)

Абсолютные и относительные погрешности 1/N. Рассмотренные выше погрешности: истинные, средние, средние квадратические, вероятные и предельные называются абсолютными погрешностями.

В принципе для оценки точности измерений можно пользоваться любой из этих погрешностей, однако в разных странах предпочтение отдается какой-либо одной. Например, в США – вероятной, а в России – средней квадратической погрешности.

Для характеристики точности измерений какой-либо величины L к ней принято приписывать справа ее абсолютную ошибку со знаком ±, то есть пишут

L ± q или L ± m, или L ± D_пред, или L ± r. (29)

Во всех этих случаях приписка абсолютной погрешности имеет условное значение как критерий для оценки точности измеренной величины.

Сама по себе величина абсолютной погрешности часто слабо характеризует точность измерений. Действительно, о чем говорит, например, тот факт, что длина некоторой линии местности измерена с абсолютной средней квадратической погрешностью m = 5 см? Хорошо или плохо в данном случае произведено измерение? На это можно ответить лишь при наличии самого значения измеренной величины D. Если, например, с указанной погрешностью была измерена одна из линий теодолитного хода длиной в 200 м, то можно сказать, что измерение было сделано с достаточно высокой точностью, так как значение абсолютной погрешности составляет 1/4000 долю измеренной величины. Если же с той же погрешностью был измерен, например, диаметр трубы размером в 20 см, то, очевидно, такое измерение следует признать грубым, так как значение абсолютной погрешности составляет ¼ долю измеряемой величины.

Вот эта доля абсолютной погрешности от измерений величины называется относительной погрешностью, так как получается отношением абсолютной погрешности ко всей измеряемой величине. Относительная погрешность выражается простой дробью, числитель которой равен единице, а знаменатель некоторому числу, полученному в результате деления измеряемой величины на абсолютную погрешность

. (30)

Говоря об относительной погрешности, необходимо уточнять, какая абсолютная погрешность соотносится с измеряемой величиной. В зависимости от этого относительную ошибку называют, например, средней относительной погрешностью (q/L), средней квадратической относительной погрешностью (m/L).

Относительная погрешность является важным критерием оценки точности измерений и построений и служит мерой для предварительного расчета ее. Например, когда устанавливается точность линейных измерений при теодолитной съемке с относительной погрешностью 1/2000, то это значит, что при измерении 100-метровых линий абсолютная средняя квадратическая погрешность не должна быть больше 5 см, при измерении 200-метровых линий абсолютная погрешность не должна превышать 10 см. В геодезической практике почти все измерения оцениваются относительной погрешностью, кроме угловых измерений. Дело в том, что точность измерения угла не зависит от его величины. В то же время часто приходится иметь дело с величинами, полученными в результате различных совместных измерений, например, угловых и линейных. В этом случае дать сравнительную оценку влияния этих измерений на точность полученного результата можно лишь путем расчета. Например, при определении положения точки В относительно А расстояние АВ 3000 м было измерено с относительной погрешностью 1/2000, а направление АВ с абсолютной погрешностью 0,5^/ (рис. 3).

• • • • А В В¢ В// Рис. 3. Схема продольного и поперечного смещения точки В

Очевидно, что под влиянием погрешности измерения длины точка В сместится в продольном направлении на величину 1,5 м – (ВВ/ = 3000/2000), а под влиянием погрешности измерения направления получит поперечный сдвиг на величину 0,4 м –

(В^/В^//=3000Х0,5^//3438^/), то есть в 3,5 раза меньше.

Если бы была известна в данном случае относительная погрешность измерения угла, то для сравнительного анализа влияния этих измерений расчетов делать не пришлось бы.

В геодезии за относительную погрешность измерения угла (направления) принимают отвлеченное число, выраженное простой дробью и полученное при переводе абсолютной угловой погрешности в радианы

. (31)

В данном примере относительная погрешность измерения направления будет равна

.

Отсюда видно, что погрешности линейных измерений (1/2000) оказывают большое влияние на точность конечного результата, чем погрешности угловых измерений (1/6876), в те же 3,5 раза.

Вопросы для самопроверки

1. Что понимают под процессом измерений в геодезии?

2. Какие измерения встречаются в геодезической практике?

3. Что такое равноточные и неравноточные измерения?

4. Что понимают под весом измерений?

5. Источники появления погрешностей в процессе измерений.

6. Какие погрешности чаще всего встречаются в геодезической практике?

7. Каковы свойства грубых и систематических погрешностей и способы их исключения из результатов измерений?

8. Какие задачи решает теория погрешностей?

9. Что понимают под кривой погрешностей, и какие выводы из этого следуют?

10. Каковы свойства случайных погрешностей?

11. Способ определения наиболее достоверного результата из ряда измерений одной и той же величины и что понимают под арифметической срединой?

12. Что такое вероятнейшая погрешность и каковы ее свойства?

13. Каковы критерии оценки точности результатов измерений?

14. Что такое средняя погрешность?

15. Что понимают под вероятной погрешностью?

16. Что такое средняя квадратическая погрешность и в чем различие между формулами Гаусса и Бесселя?

17.Какова связь между средней, вероятной и средней квадратической погрешностями?

18. Что такое предельная погрешность?

19. Что понимают под абсолютной и относительной погрешностями?