Средняя квадратическая погрешность. Чтобы найти среднюю квадратическую погрешность функции общего вида, запишем ее в следующем виде

функции общего вида Z = f (x₁, x₂, x₃,...., x_n)

Чтобы найти среднюю квадратическую погрешность функции общего вида, запишем ее в следующем виде

Z+Dz = f(x₁+Dx₁, x₂+ Dx₂ , + … + x_n + Dx_n ), (46)

где Dz – истинная погрешность функции, Dx – истинная погрешность аргументов.

Так как истинная погрешность аргумента сравнительно мала, то полученное выше равенство можно разложить по строке Тейлора, ограничиваясь членами 1-го порядка

.

Откуда

Dz = K₁ ^. Dx₁ + K₂ ^. Dx₂ + …+ K_n ^. Dx_n,

где - частные производные данные функции, вычисленные для соответствующих значений аргументов. Для данной функции это постоянные числа.

Полученное равенство аналогично линейной функции и, следовательно, для него правомерна зависимость (41). Поэтому, подставляя в него на место К₁, К₂, К₃,... К_n их значения для данной функции, получим

,

или , (47)

то есть средняя квадратическая погрешность функции общего вида равна корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на среднюю квадратическуюпогрешность соответствующего аргумента.

Пример. Определить величину превышения и ее среднюю квадратическую погрешность, если нивелирование выполнено тригонометрическим способом, то есть: h = d ^. tgv. Длина d, равная 100 м, измерена с относительной погрешностью 1:1000, а угол, равный v = 30⁰, измерен со средней квадратической погрешностью m_ν = ± 0,5¢.

Учитывая вышеприведенные исходные данные, превышение будет равно

h = 100 м ^. tg30⁰ = 100 ^. 0,5774 = 57,74 м,

а средняя квадратическая погрешность определения превышения будет получена по формуле (47)

, (48)

где .

Подставляя в формулу (48) значения частных производных и их числовые величины, получим

или h = 57,74 м ± 0, 06 м.