Средняя квадратическая погрешность. Чтобы найти среднюю квадратическую погрешность линейной функции, напишем сначала следующие равенства Z1 = K1x1, Z2 = K2x2, Z

функции вида Z = K₁x₁ ± K₂x₂ ± K₃x₃ ±... ±K_nx_n

Чтобы найти среднюю квадратическую погрешность линейной функции, напишем сначала следующие равенства

Z1 = K1x1, Z2 = K2x2, Z3 = K3x3,

но по формуле (33) имеем - ¢¢ - ¢¢ - - ¢¢ - ¢¢ -

mz1 = K1 . mx1 mz2 = K2 . mx2 mz3 = K3 . mx3

Z_n = K_nx_n - ¢¢ - ¢¢ - m_zn = K_n ^. m_xn

Отсюда линейная функция будет иметь вид

Z = Z₁ ± Z₂ ± Z₃ ±...± Z_n.

Средняя квадратическая погрешность этой функции согласно выражению (37) будет равна

.

Подставив сюда значения и так далее, получим

, (41)

то есть средняя квадратическая погрешность функции суммы или разности произведений постоянных величин на соответствующие аргументы равна корню квадратному из суммы квадратов произведений постоянных величин на средние квадратические погрешности соответствующих аргументов.

Получив формулу (41), можно вернуться к вопросу оценки точности арифметической средины. Для этого равенство (10) перепишем в следующем виде:

. (42)

Полученное равенство есть не что иное, как линейная функция. Следовательно, формула (41) отражает точность и арифметической средины.

Обозначив среднюю квадратическую погрешность арифметической средины через М, получим

. (43)

Так как при определении арифметической средины все измерения были выполнены с одинаковой точностью, то полученное выражение примет вид

, (44)

то есть средняя квадратическая погрешность арифметической средины в раз меньше средней квадратической погрешности одного измерения. Если учесть выражение средней арифметической погрешности одного измерения (26), то будем иметь

. (45)

Пример. Найти среднюю квадратическую погрешность измерения угла теодолитом 2Т30 полным примером (арифметической средины), если средняя квадратическая погрешность отсчета равна ± 0,5¢

Исходя из поставленной задачи, напишем функции

β₁ = N₂ – N₁, но по формуле (35) m² ,

β₂ = N₄ – N₃, но по формуле (35) m² ,

, но по формуле (44) ,

где

Тогда средняя квадратическая погрешность арифметической средины будет равна

.

Отсюда видно, что указанная цифра в аббревиатуре ГОСТа для теодолитов означает точность измерения углов полным приёмом. В данном примере использовался теодолит 2Т30, что соответствует выше полученному результату.