Однопродуктовая статическая модель с дефицитом

Рассмотрим детерминированную модель управления запасами с дефицитом (рис.7.5). При отсутствии запасаемого продукта спрос на него сохраняется с той же интенсивностью, хотя потребление запаса отсутствует: y(t)=0, r(t)=b. Это соответствует приему заказов на будущие периоды.

Nbsp; Рис.7.5. График изменения размера запасов

- время пополнения запасов, т.е. время, когда следует производить заказ на поставку.

Как показывает рисунок дефицит, который необходимо использовать для покрытия спроса, постоянно накапливается.

Каждый период Т можно разбить на две составляющие: Т₁ и Т₂. Т₁ – время, в течение которого происходит потребление запаса; Т₂ – время накопления дефицита. Наличие дефицита приводит к тому, что максимальный уровень запаса в момент поступления очередной партии уже будет меньше, чем объем заказа. Эта величина запаса S будет меньше объема поставки. Максимальная величина дефицита d=n-S.

Тогда

, ,

(7.13)

Заштрихованная фигура на рис.7.5 графически показывает соответствие издержкам для хранения запаса товара А. Стоимостный баланс

С=С1+С2+С3 ,

(7.14)

где С₁ – затраты на пополнение запасов;

С₂ – затраты на хранение;

С₃ – потери, связанные с образованием дефицита (штрафы за образование дефицита).

Предполагая, что стоимость поставки не зависит от объема, будем иметь затраты на постоянный товар:

,

(7.15)

где N – общий объем всей поставленной продукции.

,

(7.16)

где с₂ – стоимость хранения единицы товара;

Т₁ – период времени, в течении которого расходуется запас.

,

(7.17)

где с₃ – штрафы за дефицит единицы продукции.

В течение года требуется b/n заказов. Следовательно, время повторного заказа

.

(7.18)

Оптимизируя суммарные затраты, можно определить минимальные размеры запаса товара на складе S₀ и объем поставки n₀. Для модели с дефицитом оказывается, что объем поставки будет оптимальным при следующих параметрах:

.

(7.14)

Оптимальный объем запаса

.

(7.15)

Плотность убытков из-за дефицита или неудовлетворения спроса клиентов

.

(7.19)

Предполагаем, что в идеализированной модели спрос на запасаемый продукт детерминирован, постоянен: b=N/τ. Однако в реальных условиях этот спрос представляет собой случайную величину, которая может быть описана соответствующим законом распределения вероятностей. Если расход запасаемого продукта является дискретной величиной, то закон его распределения описывается либо вероятностным рядом Р(τ), либо функцией плотности распределения вероятностей F(τ) при непрерывной случайной величине расхода запасаемого продукта.

В качестве суммы затрат в стохастических моделях обычно используют соответствующие затраты на хранение и штрафы за дефицит, рассматривая оценку математического ожидания этой суммы. Тогда суммарные затраты С(S) будут определяться стоимостью хранения с₂:

,

(7.20)

где P(r) – вероятность расхода единицы продукции;

S – r – количество оставшегося продукта.

Аналогично и для непрерывной случайной величины, описывающей запас и расход материала:

.

(7.21)

Задача управления запасами состоит в отыскании такой величины запаса, при которой эта сумма S(S₀) → min.

При дискретном спросе ее можно рассматривать как дискретную случайную величину, тогда выражение (7.21) будет минимально при F(S₀)<ρ< F(S₀+1), где ρ – плотность убытков, связанных с наличием дефицита.

Если известна плотность распределения или функция распределения спроса, то, зная величину плотности убытков, можно установить оптимальную величину запаса для непрерывной величины спроса (рис. 7.6), для дискретной величины спроса (рис. 7.7).

Рис.7.6. Функция распределения спроса для непрерывной величины спроса

Рис.7.7.
Функция распределения спроса для дискретной величины спроса

Такой подход позволяет учитывать неопределенность спроса на товар, а модель управления запасами называется стохастической.

Пример 7.3. Использование стохастической модели.

Предприятие закупает некоторый агрегат (например, холодильник) с запасными частями. Стоимость одного запасного блока составляет 5 денежных единиц (д.е.). Стоимость потерь в случае выхода из строя запасного блока составляет 100 д.е. Статистические данные о вероятности выхода из строя запасных блоков приведены в табл. 7.1.

Таблица 7.1. Вероятности выхода из строя запасных блоков

Количество r
P(r)	0,9	0,05	0,02	0,01	0,01	0,01
F(r)		0,9	0,95	0,97	0,98	0,99	1,0

Вероятность выхода из строя определяется в нашем случае как

r =100/105=0,952;

Так как 0,95<r =0,952<0,97, следовательно, необходимо 2 запасных блока, т.е. S₀=2.

Но эта модель тоже упрощена, так как мы предположили, что возобновление запаса происходит практически мгновенно, т.е. в модели не учитывается времени поставки, а это время в некоторых случаях достаточно существенно.

Если учесть, что между временем поставки пройдет время Т, то оформлять заявку надо своевременно, пока запас еще не исчерпан, а когда он снизится до уровня S₀,, необходимо подать заказ на новую поставку. Если поставщики работают стабильно, то можно пользоваться детерминированными стохастическими моделями, в которых определены . Однако само время поставки также не является постоянной величиной. Оно зависит от различных факторов. Тогда одним из методов моделирования процесса управления запасами является метод имитационного моделирования.