Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Свойство 1. При матрица перехода является единичной.
Свойство 2. Матрица перехода Ф (t,t0) ‑ удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению, т.к она состоит из его решений.
С использованием матрицы перехода решение однородного уравнения (4.1) запишем в виде
где - вектор коэффициентов.
Таким образом, C= x 0 (t) ‑ вектор начальных условий.
Общее решение ОДУ:
x (t)= F (t, t0) x (t0)
Замечание относительно обозначения элементов матрицы F (t,t0):
Элемент φij - i-ое решение при единичных начальных условиях по j-й координате
Свойство 3. Матрица перехода не вырождена.
det(F (t, t0) ¹ 0 на интервале [ t 0, ¥)
Это свойство вытекает из формулы Лиувиля для вычисления определителя матрицы:
Для доказательства формулы необходимо воспользоваться правилом вычисления производной от определителя матрицы:
Что и требовалось доказать.
Свойство 4. К переходной матрице применимо правило композиции.
F (t2,t0) = F (t2,t1) F (t1,t0)
x (t1) = F (t1,t0) x (t0)
x (t2) = F (t2,t1) x (t1) = F (t2,t1) F (t1,t0) x (t0)
Это свойство вытекает из единственности решения дифференциального уравнения.
Свойство 5. Изменение порядка аргументов эквивалентно обращению.
F (t0,t1) = F- 1 (t1,t0)
Доказательство следует из свойства 4, если t2 заменить на t0:
F (t0,t0) = F (t0,t1) F (t1,t0) = I
Свойство 6. Матрица перехода как функция второго аргумента t 0 является решением сопряженного уравнения.
Эти уравнения используются в теории оптимального управления для решения в обратном времени, чтобы определить дополнительные начальные условия или начальное положение.
Дата публикования: 2015-02-22; Прочитано: 712 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!