Переходная матрица и ее свойства

Пусть система задана в виде векторно-матричных уравнений, размерность матриц указана в квадратных скобках:

Все элементы матриц могут зависеть от времени. Матрица D, которая имеется в общей записи, здесь принята равной нулю. В общем случае учет матрицы D не представляет сложности при нахождении решения.

Рассмотрим однородную систему дифференциальных уравнений. Основное внимание уделяется решению первого уравнения. . Если элементы матрицы А(t) зависят от времени (матрица переменная), то решение находится численными методами, а если элементы от временине зависят (матрица постоянная), то существует аналитическое решение.

Найдем решение следующим способом. Возьмем начальные условия, равные единице для каждой координаты: x ₁(t₀)= e ₁=[1 0...0]^T,..., x _n(t₀)= e _n=[0... 0 1]^T, которым соответствуют решения . Получим пространство решений, его составляющие являются линейно независимыми и образуют базис. Решение уравнения определяется как линейная комбинация этих базисных решений:

Из этих линейно независимых решений составим матрицу, столбцами которой являются полученные вектора, и назовем её матрицей перехода :