Линеаризация векторно-матричных уравнений

Используется идея разложения в ряд Тейлора функции многих переменных.

Если – входная переменная, и – известное решение, то можно найти решение для небольших отклонений.

удовлетворяет уравнению ,

, – малые отклонения (приращения) координат системы. Представим , , начальные условия . Подставим эти значения в уравнение состояния и разложим в ряд Тейлора:

В этом выражении:

– матрица из частных производных от функции по переменным состояния, ;

– матрица из частных производных функции по входной переменной, ;

– члены второго и более высокого порядка малости.

Вычитаем базовое решение, пренебрегаем малыми элементами и получаем линейную связь для отклонений:

.

Аналогично проводится линеаризация уравнения выхода:

,

– матрица частных производных функции выхода по состоянию, ,

- матрица частных производных функции выхода по переменным входа, .

После вычитания базового решения, исключения компонент (члены второго и более высокого порядка) малости получим уравнение выхода:

В обоих линейных уравнениях матрицы зависят от базового решения и в общем случае являются функциями времени.

Графически систему, описываемую векторно-матричными уравнениями можно представить в следующем виде:

Рисунок 3. 11. Графическое представление векторно-матричных дифференциальных уравнений

В соответствии со схемой матрицы имеют следующие названия:

А – матрица динамики системы, её собственные значения определяют характер процессов в системе;

В – матрица входа;

C – матрица выхода;

D – матрица обхода.