Обработка результатов наблюдений методом наименьших квадратов

Цель работы: используя метод наименьших квадратов, найти многочлены первой и второй степеней, аппроксимирующие функцию, заданную таблично. Построить заданные точки и аппроксимирующие кривые.

ПРИМЕР. Функция f(x) задана таблично

Таблица 2.1

i
х	-3	-1
у	2,9	1,0	-0,2	-1,5	-0,4	0,5	2,0

Для аппроксимации заданной таблично функции f(х) многочленом первой степени , необходимо составить систему следующего вида

и решить ее относительно , .

Для аппроксимации заданной таблично функции f(х) многочленом второй степени , необходимо составить следующую систему

и решить ее относительно , , .

Вычисление коэффициентов приведенных систем располагаем в виде таблицы 2.2.

Таблица 2.2

i	xi	xi2	xi3	xi4	yi	xi yi	xi2yi
	-3		-27		2,9	-8,7	26,1
	-1		-1		1,0	-1,0
					-0,2
					-1,5	-1,5	-1,5
					-0,4	-0,8	-1,6
					0,5	1,5	4,5
					2,0	8,0	32,0
					4,3	-2,5	60,5

Для нахождения коэффициентов , многочлена первой степени, получаем следующую систему:

.

Отсюда ; . Следовательно, .

Для нахождения коэффициентов , , многочлена второй степени, получаем следующую систему:

.

Решив эту систему, получим: , , .

Следовательно, .

Графики полученных многочленов и , а также заданные табличные точки, представлены графически на рисунке 1.

Рисунок 1. Аппроксимация результатов наблюдений

- результаты наблюдений;

аппроксимация многочленом первого порядка;

аппроксимация многочленом второго порядка.

Отчет по самостоятельной работе должен содержать:

1. Таблицу исходных данных 2.1;

2. Таблицу расчета коэффициентов 2.2 для систем;

3. Системы линейных уравнений для расчета параметров многочленов первой и второй степеней, решение этих систем;

4. Запись многочленов первой и второй степеней в аналитическом виде;

5. График с исходными данными и аппроксимирующими кривыми.

Варианты лабораторных работ

	x
y	0,2	0,6	1,0	1,2	1,4	1,6	1,7
	x	-2	-1
	y	3,1	2,8	2,5	2,0	1,7	2,2	2,9
	x	-6	-4	-3	-1
	y	2,5	1,2	0,4	-0,5	-1,3	-0,2	1,1
	x
	y	0,5	0,8	1,3	1,7	1,9	2,5	2,2
	x	-3	-2	-1
	y	1,7	1,2	1,0	0,5	-0,2	0,5	0,8
	x	-1
	y	3,1	2,8	2,4	2,1	1,9	2,2	2,6
	x
	y	1,8	1,2	0,2	-0,9	-1,9	0,4	2,4
	x	-2	-1
	y	1,7	1,9	2,4	2,7	3,1	3,1	2,5
	x
	y	1,4	2,0	2,3	2,9	2,5	2,3	2,0
	x	-1
	y	-1,8	-1,5	-1,1	-1,3	-1,4	-1,6	-1,9
	x	-3	-2	-1
	y	1,0	1,7	3,3	5,1	4,6	3,0	1,9
	x
	y	2,1	3,0	3,4	3,7	3,2	2,9	1,1
	x	-2	-1
	y	-0,3	0,5	0,8	1,8	0,8	0,4	0,0
	x
	y	1,6	1,9	2,3	2,5	2,8	3,4	2,5
	x	-2	-1
	y	0,3	-0,5	-1,5	-0,5	-0,1	0,2	1,2
	х	-3	-2	-1
	y	4,8	4,2	3,7	3,4	3,0	3,6	5,0
	x
	y	3,5	3,2	2,9	2,1	3,0	3,4	3,9
	x	-1
	y	-6,1	-5,8	-5,2	-4,8	-4,5	-5,0	-5,6
	x	-2	-1
	y	1,1	0,2	-0,4	-1,0	-1,4	-1,0	-0,2
	x
	y	-1,2	-0,5	-0,2	0,3	-0,7	-1,1	-1,4
	x	-3	-1
	y	1,7	3,3	5,1	6,6	5,6	4,0	3,5
	x
	y	1,7	1,9	2,5	2,9	3,4	2,8	2,2
	x	-4	-2	-1
	y	-1,8	-0,5	-0,2	0,5	1,0	1,2	0,3
	x	-1
	y	3,1	4,5	4,9	5,7	5,2	4,2	3,0
	x	-2	-1
	y	-0,3	0,5	1,5	0,5	0,3	-0,2	-1,2
	x	-6	-5	-4	-3	-2	-1
	y	-2,4	-3,5	-4,1	-3,4	-2,3	-1,5	-0,7
	x	-3	-2	-1
	y	6,4	4,1	3,5	2,6	1,3	-0,2	1,7
	x	-1
	y	1,6	3,2	4,8	5,5	4,1	3,7	2,4
	x
	y	-1,7	-0,5	-0,1	0,9	1,8	0,8	0,3
	x	-2	-1
	y	1,3	1,8	2,5	3,1	3,7	2,2	1,9