Задания. 1. Доказать, что компактное дискретное пространство конечно

1. Доказать, что компактное дискретное пространство конечно.

2. Докажите, что подмножество евклидовой прямой R ¹ компактно тогда и только тогда, когда это подмножество замкнуто и ограничено.

3. Доказать, что объединение конечного числа компактных подмножеств топологического пространства компактно.

4. Пусть B – база пространства X. Доказать, что следующие условия попарно эквивалентны:

1) X компактно;

2) каждое покрытие пространства X элементами базы B содержит конечное подпокрытие;

3) в каждое открытое покрытие пространства X можно вписать конечное покрытие, состоящее из элементов базы B.

5. Некоторое семейство множеств называется центрированным, если пересечение любого непустого конечного подсемейства этого семейства не пусто. Доказать, что пространство X компактно тогда и только тогда, когда любое центрированное семейство замкнутых в пространстве X множеств имеет непустое пересечение.

6. Точка x топологического пространства X называется точкой полного накопления подмножества , если для каждой окрестности U точки x множество равномощно множеству A. Доказать, что если пространство компактно, то для любого его бесконечного подмножества существует точка полного наполнения этого подмножества. Верно ли обратное?

7. Доказать, что любое замкнутое подпространство компактного пространства компактно.

8. Докажите, что в каждом бесконечном компактном пространстве существует счетное незамкнутое множество.

9. Доказать, что компактное подмножество T ₂-пространства X замкнуто в X.

10. Доказать, что пересечение семейства замкнутых подмножеств топологического пространства является замкнутым компактным множеством, если хотя бы одно из подмножеств, принадлежащих этому семейству, компактно.

11. Привести пример топологического пространства, в котором пересечения некоторых двух компактных множеств не является компактным множеством.

12. Привести пример топологического пространства, в котором замыкание некоторого компактного множества не компактно.

13. Доказать, что компактное T ₂-пространство нормально.

14. Доказать, что дискретная сумма некоторого семейства непустых топологических пространств компактна тогда и только тогда, когда это семейство конечно и все его элементы – компактные пространства.

15. Пусть X − T ₂-пространство, Y − семейство компактных связных подмножеств пространства X, и каждое конечное подсемейство семейства Y имеет непустое связное пересечение. Доказать, что множество связно.

16. Доказать, что образ компактного пространства при непрерывном отображении является компактным пространством.

17. Доказать, что непрерывное отображение компактного пространства в T ₂-пространство является замкнутым отображением.

18. Докажите, что взаимно однозначное непрерывное отображение компактного пространства на T ₂-пространство является гомеоморфизмом. Может ли взаимно однозначное непрерывное отображение компактного пространства на топологическое пространство не быть гомеоморфизмом?

19. Доказать, что непрерывное отображение компактного пространства в евклидову прямую R ¹ ограничено и достигает своих точных верхней и нижней граней.

20. Докажите, что непрерывное отображение f компактного пространства X в евклидову полупрямую отделено от нуля (т.е. существует такое , что длякаждого имеем: ).

21. Пусть X − топологическое пространство, а Y − компактное пространство. Доказать, что отображение проектирования произведения на X замкнуто.

22. Доказать, что подмножество евклидового пространства компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

23. Докажите, что компактное метризуемое пространство имеет счетную базу.

24. Доказать, что каждое подпространство компактного метризуемого пространства сепарабельно.

25. Пусть X – метризуемое пространство. Доказать, что следующие утверждения попарно равносильны:

1) X компактно.

2) X счетно компактно.

3) Из всякой последовательности точек пространства X можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

4) Каждая последовательность замкнутых подмножеств пространства X, такая, что для каждого , удовлетворяет условию .

26. Пусть A и B − замкнутые подмножества метрического пространства , причем компактно и . Доказать, что существует точка , для которой .

27. Доказать, что всякая изометрия компактного метрического пространства в себя есть изометрия на всё пространств.

28. Доказать, что для каждого открытого покрытия метрического компактного пространства X существует положительное вещественное число (называемое числом Лебега покрытия ), удовлетворяющее следующему условию:

для каждого подмножества M пространства X найдется множество, принадлежащее покрытию и содержащее M.

29. Докажите, что локально компактное T ₂-пространство регулярно.

30. Доказать, что замкнутое подпространство локально компактного пространства локально компактно.

31. Доказать, что открытое подпространство локально компактного T ₂-пространства локально компактно.

32. Доказать, что T ₂-пространство локально компактно тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно некоторого компактного T ₂-пространства.

33. Докажите, что произведение двух локально компактных пространств является локально компактным пространством.

34. Доказать, что дискретная сумма локально компактных пространств локально компактна.

35. Можно ли утверждать, что непрерывный образ локально компактного пространства локально компактен?

36. Доказать, что для каждого целого положительного числа n одноточечная компактификация евклидова пространства гомеоморфно евклидовой n -мерной сфере .

37. Какие из следующих утверждений справедливы?

1. Всякое счетное хаусдорфово пространство компактно.

2. Произведение любого семейства компактных пространств компактно.

3. Всякое компактное метризуемое пространство имеет счетную базу.

4. Фактор-пространство компактного пространства компактно.

5. Топологическое пространство компактно, если существует конечное открытое покрытие этого пространства.

6. Замкнутое подпространство компактного пространства компактно.

7. Дискретная сумма любого семейства компактных пространств компактна.

8. Всякое конечное пространство компактно.

9. Топологическое пространство X компактно тогда и только тогда, когда всякое его открытое покрытие конечно.

10. Компактное хаусдорфово пространство регулярно.

11. Компактное хаусдорфово подпространство топологического пространства X нормально и замкнуто в пространстве X.

12. Непрерывная функция, определенная на компактном пространстве, принимает все промежуточные значения.

13. Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из всякого его покрытия можно выделить конечное подпокрытие.

14. Непрерывный образ компактного хаусдорфова пространства компактен.

15. Подпространство компактного пространства компактно.

16. Всякое компактное пространство имеет счетную базу.

17. Если топологическое пространство компактно, то всякая последовательность его точек сходится.

18. Если всякая последовательность точек некоторого топологического пространства сходится, компактно, то это пространство компактно.

37. Даны подпространства евклидовой плоскости R ²:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

А) Используя понятия компактности и связности, разбить семейство, образованное этими подпространствами, на классы топологической эквивалентности.

Б) Какие из данных подпространств локально компактны?

В) Есть ли среди данных подпространств те, которые гомеоморфны одному из следующих подпространств евклидова пространства R ³?

1) ,

2) .

38. Даны следующие подпространства евклидовой плоскости R ²:

X ₁ = .

X ₂ = X ₁ .

X ₃ = X ₁ .

X ₄ = X ₁ .

X ₅ = .

X ₆ = .

X ₇ = .

X ₈ = .

Какое из этих подпространств имеет одноточечную компактификацию? Гомеоморфна ли эта компактрификация какому-нибудь подпространству евклидова пространства ?

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Босс В. Лекции по математике. Т. 13: Топология: учебн. пособие / В.Босс. – М.: Книжн. дом «ЛИБРИКОМ», 2009. – 216 с.

2. Введение в топологию: учебн. пособие / Ю.Г. Борисович [и др.]. – М.: Наука, 1995. – 416 с.

3. Дифференциальная геометрия, топология, тензорный анализ: сб. задач / Н.И. Кованцов [и др.]. – К.: Выща шк., 1989. – 398 с.

4. Келли Дж.Л. Общая топология / Дж.Л. Келли. – М.: Наука, 1981. – 432 с.

5. Мищенко А.С. Курс дифференциальной геометрии и топологии: учебн. пособие / А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко. – СПб.: Лань, 2009. – 480 с.

6. Топология: учебн. пособие / С.Г. Кононов [и др.].; под общ. ред. А.С. Феденко – Минск: Выш. шк., 1990. – 318 с.

7. Федорчук В. В. Общая топология. Основные конструкции: учебн. пособие / В.В.Федорчук, В.В.Филиппов. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 336 с.

Методические указания к практическим занятиям по курсу

«Дифференциальная геометрия и топология»

раздел «Топология»

для студентов 3 курса дневной формы обучения

направления подготовки 6.040201 «математика»

образовательно-квалификационного уровня «бакалавр»

отрасли знаний 0402 «физико-математические науки»

Составитель: Криворучко Александр Иванович

Рецензент: М.А.Муратов

Редактор: Н.А.Василенко

_________________________________________________________

Подписано к печати..11. Формат 60x84/16. Бумага тип. ОП.

Объем 1,5 п. л. Тираж - 50. Заказ -

_________________________________________________________

95007, Симферополь, пр. академика Вернадского, 4.

Таврический национальный университет имени В.И.Вернадского.