Некоторые определения и теоремы. 1o. Пусть – семейство множеств

1^o. Пусть – семейство множеств. Оно называется покрытием множества M, если . Подпокрытие покрытия множества M – это подсемейство семейства , являющееся покрытием множества M.

Если – семейство открытых подмножеств топологического пространства X и , то – открытое покрытие множества M.

Топологическое пространство X называется компактным (соответственно, счетно-компактным),если всякое (соответственно, всякое счетное) открытое покрытие пространства X содержит его конечное подпокрытие. Подмножество M пространства X называется компактным (соответственно, счетно-компактным), если M как подпространство пространства X компактно (соответственно, счетно-компактно).

Теорема 1. Замкнутое подмножество компактного пространства компактно.

Теорема 2. Компактное подмножество T ₂- пространства замкнуто.

Теорема 3. Компактное T ₂- пространство нормально.

Теорема 4. Непрерывный образ компактного пространства − компактное пространство.

Теорема 5. Произведение компактных пространств компактно.

Теорема 6. Метризуемое пространство X компактно тогда и только тогда, когда X счетно-компактно.

2^o. Пусть x – точка пространства X. Пространство X называется локально компактным в точке x, если существует окрестность точки x, замыкание которой в X компактно.

Пространство X называется локально компактным, если оно локально компактно в каждой точке этого пространства.

Теорема 7. Пусть X – локально компактное T ₂-пространство, не являющееся компактным, – топология пространства X, , . Положим

.

Тогда

1) – топология на множестве Y, относительно которой Y – компактное T ₂-пространство. При этом X – открытое всюду плотное подпространство пространства Y;

2) если Z – какое-нибудь компактное T ₂-пространство, всюду плотным подпространством которого является пространство X, то существует непрерывное отображение , для которого

,

(в частности, если – одноэлементное множество, то f – гомеоморфизм).

Пространство Y, о котором говорится в теореме 8, называется одноточечной компактификацией Александрова.

Вопросы для повторения

1. Что такое открытое покрытие?

2. Какие пространства называются компактными? Сохраняется ли компактность пространств при гомеоморфизмах?

3. Являются ли дискретные пространства компактны? Какие подмножества дискретных пространств компактны? Что можно утверждать о компактности подмножеств антидискретных пространств?

4. Может ли непрерывный образ компактного пространства не быть компактным?

5. Может ли непрерывный прообраз компактного пространства не быть компактным?

6. Обязательно ли пространство компактно, если некоторый его непрерывный прообраз компактен?

7. Дайте определение локально компактного пространства. Сохраняется ли локальная компактность пространств при гомеоморфизмах?

8. Может ли компактное пространство не быть локально компактным?

9. Что можно утверждать о локальной компактности подпространств дискретных пространств?

10. Дайте определение одноточечной компактификации Александрова. Имеет ли евклидова прямая одноточечную компактификацию?