Основные определения. Для натурального числа пусть , , – топологические пространства,

Для натурального числа пусть ,…, – топологические пространства,

.

Легко проверить, что − база некоторой топологии на множестве . Эту топологию называют топологией произведения на множестве , базу – стандартной базой топологии произведения, а пространство – произведением пространств .

Пусть ,…, , Y – множества,

, ,

− отображения множеств.

Для каждого отображение , определяемое равенством ,называют проекцией (или проектированием) произведения на сомножитель , а композицию отображений называют компонентой (точнее, i -й компонентой) отображения f.

Отображение

называют диагональным произведением отображений ,…, , или диагональным отображением, порожденным отображениями ,…, .

Очевидно, что тогда и только тогда, когда для каждого i выполняется равенство .

Если и , то отображает Y на диагональ

произведения (называемого квадратом множества Y).

Отображение

,

ставящее в соответствие каждой точке точку , называют декартовым произведением отображений ,…, .

Вопросы для повторения

1. Что называется произведением множеств?

2. Какая база произведения топологических пространств называется канонической базой?

3. Какие множества открыты в произведении топологических пространств?

4. Обязательно ли будет ли дискретным произведение двух дискретных пространств? Может ли произведение дискретных пространств не быть дискретным пространством?

5. Может ли произведение антидискретных пространств не быть антидискретным пространством?

6. Дайте определение диагонального произведения отображений.

7. Что называется декартовым произведением отображений?