Некоторые определения и теоремы

Понятие связности топологического пространства – это математическая формализация интуитивного представления о целостности геометрического объекта.

1^о. Подмножества A и B пространства X называют отделенными (друг от друга), если .

Подмножества A и B пространства X, не являющиеся отделенными, называются неотделенными.

Топологическое пространство называется связным, если множество всех его точек нельзя представить как объединение двух непустых отделенных подмножеств.

Множество M точек топологического пространства X называется связным, если M как подпространство пространства X является связным топологическим пространством.

Пространств (соответственно, некоторое множество его точек) называется несвязным, если оно не является связным.

Компонентой топологического пространства называют каждое его максимальное связное множество, т.е. такое связное множество, которое не содержится ни в каком другом связном множестве этого пространства. Компоненты подпространства Y пространства X называют компонентами множества Y.

Теорема 1. Каждое связное множество пространства содержится в некоторой компоненте этого пространства. Любая компонента пространства является замкнутым множеством; любые две компоненты либо совпадают, либо являются отделенными множествами.

2^о. Пространство X называют локально связным в некоторой его точке x, если любая окрестность этой точки содержит связную окрестность точки x; пространство X называется локально связным, если оно локально связно в каждой своей точке.

Множество M точек пространства X называется локально связным (в некоторой точке множества M), если M как подпространство пространства X локально связно (в этой точке).

Теорема 2. Пространство X локально связно тогда и только тогда, когда для каждого лежащего в X открытого множества все компоненты этого множества открыты.

3^о. Пространство X называется линейно связным, если каждые две точки этого пространства можно соединить непрерывным путем, т.е. если для любых двух точек x, y этого пространства существует непрерывное отображение f отрезка [0; 1] евклидовой прямой R ¹ в пространство X, удовлетворяющее следующему условию: , .

Множество M точек пространства X называется линейно связным, если M как подпространство пространства X линейно связно.

Компонентой линейной связности пространства X называют любое его максимальное линейно связное множество, т.е. такое линейно связное множество, которое не содержится ни в каком другом линейно связном множестве пространства X. Компоненты линейной связности подпространства Y пространства X называют компонентами линейной связности множества Y.

Теорема 3. Каждое линейно связное множество топологического пространства связно и содержится в некоторой компоненте линейной связности этого пространства. Любые две компоненты линейной связности пространства либо совпадают, либо имеют пустое пересечение.

4^о. Пространство X называют локально линейно связным в некоторой его точке x, если любая окрестность U этой точки содержит такую окрестность V точки x, что любые две точки, принадлежащие V, можно соединить непрерывным путем в U; пространство X называется локально линейно связным, если оно локально линейно связно в каждой своей точке.

Теорема 4. Пространство X локально линейно связно тогда и только тогда, когда для каждого лежащего в X открытого множества все компоненты линейной связности этого множества открыты.

Вопросы для повторения

1. Какие подмножества топологического пространства называются отделенными? Могут ли множества, имеющие пустое пересечение не быть отделенными? Можно ли утверждать, что отделенность подмножеств пространства сохраняется при гомеоморфизмах?

2. Какие пространства называются связными? Сохраняется ли связность пространств при гомеоморфизмах?

3. Может ли непрерывный образ связного пространства не быть связным?

4. Может ли непрерывный образ несвязного пространства быть связным?

5. Может ли непрерывный прообраз связного пространства не быть связным?

6. Может ли непрерывный прообраз несвязного пространства быть связным?

7. Дайте определение компоненты топологического пространства. Приведите пример пространства с бесконечным множеством компонент.

8. Сохраняется ли мощность семейства всех компонент связности пространства при непрерывном отображении пространства?

9. Дайте определение локально связного пространства. Сохраняется ли локальная связность пространств при гомеоморфизмах?

10. Может ли связное пространство не быть локально связным?

11. Дайте определение линейно связного пространства. Сохраняется ли линейная связность пространств при гомеоморфизмах?

12. Может ли связное пространство не быть линейно связным?

13. Сохраняется ли линейная связность при непрерывных отображениях?

14. Может ли линейно связное пространство не быть локально связным?

Задания

1. Доказать, что любе два непересекающиеся открытые подмножества топологического пространства отделены.

2. Пусть A и B – замкнутые подмножества топологического пространства. Доказать, что множества A \ B и B \ A отделены.

3. Верно ли, что A \ B и B \ A отделены, если A и B – открытые подмножества топологического пространства?

4. Доказать, что непересекающиеся подмножества A и B пространства X отделены тогда и только тогда, когда они отделены в подпространстве пространства X.

5. Доказать, что непересекающиеся подмножества A и B топологического пространства отделены тогда и только тогда, когда они замкнуты в .

6. Пусть X – топологическое пространство, каждое подпространство которого нормально (например, пусть X метризуемо). Доказать, что подмножества A и B пространства X отделены тогда и только тогда, когда A и B имеют непересекающиеся окрестности.

7. Доказать, что топологическое пространство несвязно тогда и только тогда, когда оно содержит собственное подмножество (т.е. непустое подмножество, отличное от множества всех точек пространства), являющееся одновременно и открытым, и замкнутым множеством.

8. Доказать что подмножество A пространства X несвязно тогда и только тогда, когда A является объединением двух непустых отделенных в X множеств.

9. Пусть A – подмножество пространства X. Доказать, что каждое из следующих условий равносильно несвязности A.

1) Найдутся непустые непересекающиеся открытые в A подмножества B и C множества A, для которых .

2) Существуют непустые непересекающиеся замкнутые в A подмножества B и C множества A, для которых .

3) Существует непустое подмножество B множества A, не равное A и одновременно открытое и замкнутое в A.

10. Доказать что подмножество A пространства X связно тогда и только тогда, когда для любых двух открытых (соответственно, замкнутых) в X подмножеств U, V таких, что , из и следует, что .

11. Доказать, что если связное подмножество A пространства X содержится в объединении двух непустых открытых (соответственно, замкнутых) в X непересекающихся множеств U, V, то A содержится в одном из множеств U, V.

12. Доказать, что если A – связное подмножество пространства X и , то множество M связно.

13. Доказать, что если в пространстве X существует всюду плотное связное подмножество, то пространство X связно.

14. Показать, что пересечение двух связных множеств топологического пространства может не быть связным. Можно ли утверждать, что если подмножеств A, B и топологического пространства связны, то несвязно?

15. Доказать, что если A и B − замкнутые множества, объединение и пересечение которых являются связными множествами, то и множества A, B связны. Верно ли это утверждение для незамкнутых множеств A и B?

16. Доказать, что подмножество евклидовой прямой R ¹ связно тогда и только тогда, когда оно является промежутком, т.е. вместе с любыми двумя своими точками оно содержит отрезок, соединяющий эти точки.

17. Доказать, что подмножество евклидовой плоскости R ², состоящее из точек, у которых хотя бы одна координата иррациональна, связно.

18. Пусть − непустое семейство связных подмножеств топологического пространства, и при этом любые два множества, принадлежащие , не отделены друг от друга. Доказать, что множество связно.

19. Топологическое пространство X связно тогда и только тогда, когда любые две его точки содержатся в некотором связном в X множестве.

20. Пусть в пространстве X имеется точка a, для которой выполняется следующее условие:

для каждой точки b пространства X в этом пространстве существует связное множество, содержащее точки a и b.

Доказать, что X связно.

21. Упорядоченное семейство множеств называется цепочкой, если либо , либо для каждого имеем: . Говорят, что эта цепочка соединяет x и y, если , . Семейство называется сцепленным, если для любых двух его множеств P и Q найдется цепочка , которая состоит из множеств, принадлежащих , и для которой , .

Доказать:

а) объединение сцепленного семейства связных в X подмножеств связно в X;

б) пространство X связно тогда и только тогда, когда для любых двух его точек x и y найдется соединяющая эти точки цепочка связных подмножеств пространства X;

в) открытое покрытие связного пространства является сцепленным семейством.

22. Пусть X – топологическое пространство, x – его точка, – семейство всех связных подмножеств пространства X, содержащих точку x. Доказать, что – компонента пространства.

23. Доказать:

1) каждое связное подмножество топологического пространства содержится в некоторой компоненте этого пространства

2) каждая компонента связности топологического пространства является замкнутым множеством; при этом любые две компоненты связности либо совпадают либо отделены (и, следовательно) не пересекаются;

3) в пространстве с конечным числом компонент связности любая компонента связности является открытым множеством.

24. Могут все компоненты связности топологического пространства быть одноточечными множествами?

25. Пусть X – связное хаусдорфово пространство, A и B − непустые непересекающиеся замкнутые в нем множества. Доказать, что существует компонента множества , замыкание которой пересекается и с множеством A, и с множеством B.

26. Найти все компоненты связности подпространства

евклидовой плоскости R ².

27. Доказать, что если непрерывно и A – связное подмножество пространства X, то множество связно в Y.

28. Можно ли утверждать, что непрерывный образ несвязного пространства является несвязным пространством?

29. Пусть f – непрерывное отображение связного пространства X в евклидову прямую R ¹. Доказать, что является промежутком. В частности, если f принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в некоторой точке пространства X она принимает значение 0.

30. Доказать, что открытый промежуток (интервал) евклидовой прямой R ¹ не гомеоморфен никакому полуоткрытому и никакому замкнутому промежутку этой прямой.

31. Доказать, что следующие пространства (с евклидовыми топологиями на них) не гомеоморфны:

а) и ,если ;

б) окружность и отрезок ;

в) окружность и n -мерная сфера , если ;

г) символы и , рассматриваемые как подпространства плоскости R ².

32. Привести пример связного, но не локально связного хаусдорфова пространства.

33. Доказать, что хаусдорфово пространство, являющееся непрерывным образом промежутка евклидовой прямой R ¹, связно и локально связно.

34. Доказать, что произведение связных пространств связно.

35. Доказать, что фактор-пространство связного пространства связно.

36. Пусть U – открытое множество в локально связном пространстве. Доказать, что все компоненты связности этого множества открыты.

37. Можно ли утверждать, что непрерывный образ локально связного пространства локально связен?

38. Доказать, что фактор-пространство локально связного пространства локально связно.

39. Доказать, что всякое линейно связное пространство связно.

40. Доказать, что если непрерывно и A – линейно связное подмножество пространства X, то множество линейно связно в Y.

41. Пусть в пространстве X имеется точка a, для которой выполняется следующее условие: для каждой точки b пространства X в этом пространстве существует линейно связное множество, содержащее точки a и b. Доказать, что X линейно связно.

42. Доказать, что произведение линейно связных пространств линейно связно.

43. Доказать, что фактор-пространство линейно связного пространства линейно связно.

44. Найдите мощности множеств всех компонент связности и всех компонент линейной связности каждого из следующих пространств:

1) евклидово пространство ;

2) двумерные сфера, полусфера, тор, лист Мебиуса, бутылка Клейна (с евклидовыми топологиями на них);

3) подмножество евклидовой плоскости R ², являющееся объединением множества и отрезка с концами в точках и ;

4) подмножество

евклидовой плоскости R ^2;

5) подмножество евклидовой плоскости R ², состоящее из точек, у которых хотя бы одна координата иррациональна;

6) вещественное проективное пространство .

45. Пусть U – открытое множество в локально линейно связном пространстве. Доказать, что все компоненты линейной связности этого множества открыты.

46. Доказать, что связное локально линейно связное пространство линейно связно.

47. Даны следующие подпространства евклидовой плоскости R ²:

X ₁ = ,

X ₂ = ,

X ₃ = ,

X ₄ = ,

X ₅ = ,

X ₆ = ,

X ₇ = ,

X ₈ = ,

X ₉ = ,

X ₁₀ =

,

X ₁₁ =

,

X ₁₂ =

.

Используя понятие связности, найдите все пары

{ i, j } {1, 2, 3,…, 12},

для которых гомеоморфно .

48. Какие из следующих утверждений справедливы?

1. Подмножество A пространства X несвязно тогда и только тогда, когда найдутся непересекающиеся открытые подмножества B и C пространства X, для которых , и .

2. Подмножество A пространства X несвязно тогда и только тогда, когда найдутся такие непересекающиеся замкнутые подмножества B и C пространства X, что , и .

3. Если A и B – связные подмножества пространства X, то связно.

4. Замыкание связного подмножества топологического пространства связно.

5. Функция, непрерывная в каждой точке связного пространства, ограничена.

6. Множество компонент связности замкнутого ограниченного подпространства евклидовой плоскости является конечным.

7. Если внутренность подмножества A топологического пространства не пуста и связна, то A связно.

8. Внутренность связного подмножества пространства связна.

9. Если множество в топологическом пространстве несвязно, то и граница этого множества несвязна.

10. Всякий непрерывный образ любого локально связного пространства локально связен.

11. Произведение связных пространств связно.

12. Связное метризуемое пространство линейно связно.

12. КОМПАКТНОСТЬ

Содержание: Определение, примеры и их свойства компактных пространств. Критерии компактности метризуемого топологического пространства. Компактные подпространства евклидова пространства. Теорема о компактности непрерывного образа компактного пространства и её применения. Произведение компактных пространств. Компактификация. Локально компактные пространства и их одноточечные компактификация.

Необходимо научиться доказывать компактность топологических пространств; уметь применять теорему о непрерывном образе компактного множества; проверять локальную компактность пространства и строить его одноточечную компактификацию; использовать свойство компактности для топологической классификации пространств.