Некоторые определения и теоремы. 1о. Отображение f пространства X на пространство Y называется факторным отображением, если выполнено следующее условие: для каждого множество U открыто в Y

1^о. Отображение f пространства X на пространство Y называется факторным отображением, если выполнено следующее условие: для каждого множество U открыто в Y тогда и только тогда, когда открыто в X.

Теорема 1. Пусть f – отображение пространства X на множество Y. Тогда семейство всех подмножеств множества Y, прообразы которых при отображении f открыты в X, является топологией на Y. Топология − единственная топология, относительно которой f – факторное отображение.

Топология на множестве Y,относительно которой отображение факторно, называется фактор-топологией на множестве Y, определяемой (порождаемой) отображением f пространства X, а множество Y с фактор-топологией на нем – фактор-пространством, определяемым (порождаемым) отображением f. Говорят, фактор-пространство Y получено в результате факторизации пространства X по отображению f.

Теорема 2. Если – фактор-топология на множестве Y, определяемая отображением , – топология на множестве Y, относительно которой f непрерывно, то .

2^о. Пусть D − разбиениепространства X, р − каноническая проекция X на D, сопоставляющая каждой точке x пространства X тот единственный элемент р ()разбиения D, которому x принадлежит. Тогда фактор-топология, определяемая отображением р пространства X, называется топологией разбиения. Множество D с топологией разбиения на немназывают фактор-пространством, определяемым разбиением D пространства X (или пространством разбиения). При этом говорят, что пространство разбиения получено склеиванием (или отождествлением)в одноточечные множества (или в точки) всех подмножеств пространства X, принадлежащих разбиению D.

Если A D,то элементы множества A – подмножества множества X, принадлежащие D. При этом . Отсюда вытекает, что множество A открыто (замкнуто) в пространстве разбиения D тогда и только тогда, когда множество открыто (замкнуто) в X.

3^о. Пусть R − отношение эквивалентности на множестве всех точек пространства X. Фактор-множество X R является разбиением пространства X. Топология разбиения на множестве X R называется фактор-топологией по отношению эквивалентности R,а множество X R, нанаделенное этой фактор-топологией,называется фактор-пространством пространства X по отношению эквивалентности R.

4^о. Пусть X и Y − топологические пространства, , , − непрерывное отображение, Z – дискретная сумма пространств X и Y,

− разбиение пространства Z.

Обозначим через пространство разбиения D. О пространстве говорят, что оно получено приклеиванием пространства X к пространству Y по отображению f (или посредством отображения f)

5^о. Пусть Z – дискретная сумма пространств X и Y, , . Для отображения , ставящего в соответствие точке a точку b, пространство называют букетом с отмеченными точками a и b и обозначают .

Вопросы для повторения

1. Какие отображения топологических пространств называются факторными отображениями?

2. Можно ли утверждать, что открытое сюръективное отображение топологических пространств является факторным отображением? Верно ли, что замкнутое сюръективное отображение топологических пространств является факторным отображением?

3. Дайте определение фактор-топологии, определяемой отображением некоторого топологического пространства? Что такое фактор-пространство, определяемое отображением?

4. Что называется пространством разбиения? Какие множества открыты, а какие замкнуты в пространстве разбиения?

5. Что такое фактор-пространство по отношению эквивалентности? По какому отношению эквивалентности на множестве точек евклидова круга фактор-пространство этого круга гомеоморфно двумерной евклидовой сфере?

6. Как приклеить одно пространство к другому? Что называется букетом топологических пространств?

7. Можно ли разрезать топологическое пространство?

8. Как следует понимать утверждение о транзитивности операции факторизации топологических пространств?

9. Назовите какие-нибудь топологические свойства, сохраняющиеся при факторизации топологических пространств.