Задания. 1. Пусть – топологические пространства,

1. Пусть – топологические пространства, . Проверить, что семейство

− база некоторой топологии на множестве X. Как называется эта топология?

2. Доказать, что для каждого натурального евклидово пространство совпадает с .

3. Пусть и – топологические пространства, – топология произведения пространства , и – проектирования произведения на его сомножители (т.е. для каждого отображение определяется равенством ). Доказать:

а) – единственная топология на множестве , относительно которой и непрерывны и открыты;

б) если – топология на множестве , относительно которой и непрерывны, то ;

в) если , то и не замкнуты.

4. Доказать, что пространство X дискретно тогда и только тогда, когда диагональ топологического произведения является открытым множеством.

5. Пусть X и Y − топологические пространства, . Доказать, что отображение

,

– гомеоморфизм между пространством Y и подпространством произведения .

6. Пусть X − топологическое пространство. Доказать, что отображение

,

– гомеоморфизм между пространством X и диагональным подпространством произведения .

7. Пусть X и Y − топологические пространства. Доказать, что отображение

,

– гомеоморфизм между произведениями и .

8. Пусть X, Y и Z − топологические пространства. Доказать, что отображение

,

– гомеоморфизм между произведениями и .

9. Пусть – база в некоторой точке a пространства X, – база в некоторой точке b пространства Y. Доказать, что семейство – база в точке произведения .

10. Доказать, что произведение конечного множества топологических пространств удовлетворяет первой аксиоме счетности тогда и только тогда, когда каждый сомножитель произведения удовлетворяет первой аксиоме счетности.

11. Пусть – база пространства X, – база пространства Y. Доказать, что – база пространства .

12. Доказать, что произведение конечного множества топологических пространств тогда и только тогда обладает счетной базой, когда каждый сомножитель произведения обладает счетной базой.

13. Пусть X и Y − топологические пространства, , . Доказать:

а) если A замкнуто в X, а B замкнуто в Y, то замкнуто в ;

б) ;

в) ;

г) .

14. Доказать, что произведение конечного множества топологических пространств сепарабельно тогда и только тогда, когда каждый сомножитель произведения сепарабелен.

15. Доказать, что для каждого i = 0, 1, 2, 3 топологическое произведение -пространств есть -пространство.

16. Доказать, что пространство X тогда и только тогда является T ₁-пространством, когда диагональ топологического произведения – пересечение некоторого семейства открытых множеств.

17. Доказать, что пространство X хаусдорфово тогда и только тогда, когда диагональ топологического произведения замкнута в .

18. Пусть топологическое пространство X метризуемо метрикой , а топологическое пространство Y метризуемо метрикой . Какое из следующих отображений множества является метрикой, порождающей топологию произведения ?

1)

2)

3)

4)

19. Доказать, что произведение конечного множества топологических пространств метризуемо тогда и только тогда, когда каждый сомножитель произведения метризуем.

20. Для каждого пусть – подпространство пространства . Доказать, что – подпространство пространства .

21. Пусть X – топологическое пространство, – дизъюнктное семейство топологических пространств. Доказать, что пространство гомеоморфно пространству .

22. Пусть , и Y −топологические пространства, и −отображения проектирования произведения на пространства и Доказать, что непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывна каждая из компонент и отображения f.

23. Доказать, что отображения и непрерывны тогда и только тогда, когда непрерывно их диагональное произведение .

24. Даны отображения , . Построить отображения и , для которых .

25. Доказать, что отображения и непрерывны тогда и только тогда, когда непрерывно их декартово произведение .

26. Дайте определение непрерывности по каждой переменной для функции, определенной на топологическом произведении . Верно ли, что функция, определенная на и непрерывная по каждой переменной, непрерывна?

27. Пусть T – тор в евклидовом пространстве R ³ (т.е. поверхность, полученная вращением в R ³ некоторой окружности S вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не пересекающей S), S ₁ – какой-нибудь меридиан тора (например, S ₁ = S), а S ₂ – какая-нибудь параллель тора T (например, внешний экватор тора). Доказать, что тор T с евклидовой топологией на нем гомеоморфен S ₁ S ₂. Построить топологическое преобразование тора T, отображающее S ₁ на S ₂, а S ₂ − на S ₁.

28. Пусть – непрерывное отображение. Доказать, что отображение – гомеоморфизм пространства X на замкнутое подпространство пространства .

29. Даны следующие подпространства евклидова пространства R ³:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. .

27. .

Какое из них гомеоморфно произведению топологических подпространств X и Y евклидовой плоскости R ², если

А) , ?

Б) , ?

В) , ?

Г) , ?

Д) , ?

Е) , ?

Ж) , ?

З) , ?

И) , ?

10. ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВО

Содержание: Определение факторного отображения и фактор-пространства, определяемого отображением. Разбиение пространства. Фактор-пространство по отношению эквивалентности. Конструкции склейки топологических пространств.

Необходимо научиться применять конструкции, связанные с понятием факторного отображения, при построении различных топологических пространств, а также доказывать простейшие свойства факторных отображений и фактор-пространств.