Задания. 1.Пусть f – отображение пространства X на пространство Y

1. Пусть f – отображение пространства X на пространство Y. Доказать, что следующие условия равносильны:

А) f является факторным отображением.

Б) Для каждого множество U открыто в Y тогда и только тогда, когда открыто в X.

2. Доказать, что любое биективное факторное отображение топологических пространств является гомеоморфизмом.

3. Пусть − непрерывное отображение пространства X на пространство Y. Доказать, что если это отображение открыто или замкнуто, то оно является факторным отображением.

4. Пусть − непрерывное отображение пространства X на пространство Y, и – факторное отображение на пространство Y. Доказать, что − факторное отображение.

5. Пусть − факторное отображение пространства X на пространство Y, , . Доказать, что если B открыто или замкнуто Y, то − факторное отображение.

6. Пусть − отображение пространства X на пространство Y. Доказать, что следующие утверждения равносильны:

а) – факторное отображение;

б) для каждого отображения пространства Y в пространство Z это отображение непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывна композиция .

7. Доказать, что композиция факторных отображений является факторным отображением.

8. Пусть и – непрерывные отображения топологических пространств. Доказать, что если – факторное отображение, то и – факторное отображение.

9. Пусть f – отображение пространства X на множество Y. Доказать, что семейство всех подмножеств множества Y, прообразы которых при отображении f открыты в X, является топологией на множестве Y.

10. Пусть f – отображение пространства X на множество Y. Доказать, что фактор-топология на множестве Y,определяемая отображением f − единственная топология, относительно которой f – факторное отображение.

11. Пусть f – отображение пространства X на множество Y – фактор-топология на множестве Y, определяемая отображением f, – топология на множестве Y, относительно которой f непрерывно. Доказать, что .

12. Пусть D – пространство разбиения пространства X, A D. Доказать, что A замкнуто в D тогда и только тогда, когда замкнуто в X.

13. Пусть X – топологическое пространство. Определим на множестве X отношение T ₀, полагая T ₀ тогда и только тогда, когда . Доказать:

а) T ₀ – отношение эквивалентности на множестве X, а фактор-пространство X T ₀ – T ₀-пространство;

б) если R – отношение эквивалентности на множестве X, и при этом X R – T ₀-пространство, то T ₀ R.

14. Доказать, что пространство разбиения D пространства X является T ₁-пространством тогда и только тогда, когда каждый элемент разбиения D замкнут в X.

15. Пусть X и Y − нормальные топологические пространства, , − непрерывное отображение замкнутого подмножества A пространства X. Доказать, что пространство нормально.

16. Доказать, что фактор-пространство сепарабельного пространства является сепарабельным пространством.

17. Можно ли утверждать, что фактор-пространство пространства, имеющего счетную базу, также имеет счетную базу?

18. Пусть R – отношение эквивалентности на множестве всех точек пространства X, p – каноническая проекция пространства X на фактор-пространство X R. Доказать, что отображение f фактор-пространство X R в топологическое пространство Y непрерывно тогда и только тогда, когда композиция непрерывна.

19. Пусть f – отображение пространства X на пространство Y. Определим на множестве X отношение R, полагая

.

А) Проверить, что R – отношение эквивалентности, и можно определить биективное отображение , для каждого выбирая и полагая равным . Доказать:

Б) Отображение однозначно определяется равенством , где – каноническая проекция.

В) Отображение непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывно.

Г) Отображение – гомеоморфиз тогда и только тогда, когда является факторным отображением.

20. Для каждого пусть – отношение эквивалентности на множестве точек пространстве , – отображение, сохраняющее эквивалентность, т.е. удовлетворяющее условию

.

Тогда можно определить отображение

,

для каждого полагая равным тому единственному классу отношения эквивалентности , в котором содержится множество (проверьте это!). Доказать:

А) Если – непрерывное (соответственно, факторное) отображение, то и – непрерывное (соответственно, факторное) отображение.

Б) Если – гомеоморфизм и сохраняет эквивалентность, то – гомеоморфизм.

21. Можно ли утверждать, что операция факторизации топологических пространств транзитивна?

22. Даны следующие подпространства евклидова пространства :

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. .

Какое из них гомеоморфно пространству разбиения D подпространства X евклидовой плоскости R ², если

А) ,

?

Б) ,

?

В) ,

?

Г) ,

?

23. Укажите разбиения подпространства евклидовой плоскости R ², для которых фактор-пространствами являются следующие поверхности (с евклидовой топологией на них):

а) двумерная сфера;

б) лист Мебиуса;

в) двумерный тор;

г) проективная плоскость;

д) бутылка Клейна.

24. Доказать, что букет двух евклидовых окружностей гомеоморфен лемнискате («восьмерке»)

с евклидовой топологией на ней.

25. Доказать, что при склейке в точку граничной сферы n -мерного шара с евклидовой топологией на нем получаем фактор-пространство, гомеоморфное n -мерной сфере.

11. СВЯЗНОСТЬ

Содержание: Связные и линейно связные множества в топологических пространствах, их свойства. Связные и линейно связные пространства. Компоненты связности топологического пространства. Разбивающие точки. Локальная связность

Необходимо научиться пользоваться свойствами связных множеств, доказывать связность (несвязность) заданных множеств, находить компоненты связности (линейной связности) и разбивающие точки множества; использовать понятие связности для решения задачи о топологической классификации пространств.