Ряды Фурье

Напомним некоторые сведения из предыдущих разделов математики.

Функция называется кусочно-монотонной на отрезке , если этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов таким образом, чтобы в каждом из них функция была монотонной, т.е. либо не возрастающей, либо не убывающей.

Функция называется периодической с периодом , если для любого значения аргумента из области определения функции имеет место равенство

.

Для таких функций результат интегрирования в пределах, отличающихся на , не зависит от выбора нижнего предела интегрирования, т.е. для любого

(23)

Функция , описывающая гармоническое колебание, имеет период .

Функции будем называть гармониками. Их можно представить также в виде

,

где ; .

Сумма гармоник , являясь периодической, уже не будет гармоникой. Можно поставить обратную задачу. Можно ли периодическую функцию представить в виде такой суммы?. Оказалось, что при определенных условиях, сформулированных в теореме Дирихле (см. ниже), периодическую функцию с периодом можно представить в виде суммы бесконечного числа гармоник, называемой тригонометрическим рядом.

. (24)

Если коэффициенты ряда (24) определяются по формулам

,

, (25)

,

то их называют коэффициентами Фурье, а сам ряд - рядом Фурье.

Говорят, что функция удовлетворяет условиям Дирихле, если она непрерывна на отрезке за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода, а также кусочно-монотонна на этом отрезке.

ТЕОРЕМА 12. (Теорема Дирихле)

Если периодическая функция с периодом удовлетворяет на отрезке условиям Дирихле, то ряд Фурье этой функции сходится во всем отрезке и сумма этого ряда равна:

1) во всех точках непрерывности функции ;