Полусумме пределов функции слева и справа, т.е., если является точкой разрыва первого рода, то

.

Из теорем (11) и (12) следует, что класс функций представляемых в виде ряда Фурье шире класса функций, разлагаемых в ряд Тейлора, так как для последнего необходимо существование производных функций любого порядка.

В ряде практических задач электросвязи рассматриваются периодические функции с . Тогда и формулы 24-25 упрощаются

(26)

,

, (27)

.

Замечания:

1. Учитывая формулу (23), при нахождении коэффициентов Фурье целесообразно в качестве пределов интегрирования использовать границы области задания функции. Например, если - периодическая функция задана на отрезке , в формулах (27) следует интегрировать от нуля до .

2. Если функция - четная, то коэффициенты =0, а остальные коэффициенты можно найти по формулам

, . (28)

Если же функция - нечетная, то и , а

. (29)

Ряд Фурье можно представить в амплитудно - фазовой форме. Пусть

, ,

Тогда , , .

, (30)

где - амплитуда, а - начальная фаза гармоники.

Пример 31. Разложить в ряд Фурье функцию f(x), заданную на промежутке длиной, равной периоду

Изобразить диаграмму спектра амплитуд.

Решение.

Рис. 1. График функции

По формулам (25) находим коэффициенты ряда.

Если n - четное , . При нечетном n , .

Ряд Фурье имеет вид

Рис. 2. иллюстрирует представления функции , описывающей периодический сигнал прямоугольной формы, через сумму нескольких первых членов ряда. Видно, что с ростом частичные суммы все точнее представляют .

а)

б)

в)

Рис. 2. Графики суммы двух(а), трех (б) и пяти(в) членов ряда

График суммы ряда в точках непрерывности функции совпадает с графиком (рис. 1), а в точках разрыва (см. теорему Дирихле). Так как , то .

1 2 3 4 5 6

Рис.3. Спектр амплитуд

Пример 32. Разложить функцию f(x) в ряд Фурье по косинусам, продолжив в симметричный интервал. Нарисовать график суммы ряда S(x). Найти значения суммы

Решение. Продолжив функцию на интервале (-1,0) четным образом, и далее с периодом , получим сумму ряда .

Рис. 4. Графики функций и

Определим коэффициенты Фурье и .

.

Вычислим эти интегралы отдельно, используя для первого интеграла формулу интегрирования по частям .

.

Получаем ряд Фурье:

Найдем значение суммы в точках . На отрезке

.

.

Для вычисления используем свойства четности и периодичности .

.