Частные производные первого и второго порядка

Опр. Частной производной функции двух переменных Z=f(x,y) по переменной х называется предел отношения приращения функции по переменной х к приращению аргумента Dх, при условии что Dх®0.

Обозначают , Z’_x, f’_x(x,y),

Z’_x=

Аналогично определяем другую частную производную Z’_у

Аналогично фиксируем переменную х=х₀, у-переменная

f(x₀,y+Dу)– f(x₀,y)= D_уZ – частное приращение по переменной у,

Опр. Частной производной функции двух переменных Z=f(x,y) по переменной у называется предел отношения приращения функции по переменной у к приращению аргумента Dу, при условии что Dу®0.

Z’_у=

Производные от функции двух переменных находится по тем же самым правилам и формулам, как и производная функции одной переменной. Только необходимо помнить, какая из данных переменных зафиксирована, а какая продолжает изменяться.

Пример:

Z= x²–3y²–6xy–2x–y+9 Z’_x =? Z’_у–?

Z’_x = (x²)’_x –(3y²)’_x–(6xy)’_x–(2x)’_x–(y)’_x+(9)’_x =2x–0–6у–2–0+0=2x–6у–2

У=const

Z’_у= (x²)’_у –(3y²)’_у–(6xy)’_у–(2x)’_у–(y)’_у+(9)’_у=0–6у–6х–0–1+0= –6у–6х–1

Частные производные по переменным Х и У, станут новыми функциями двух переменных и при необходимости от них можно найти частные производные как по переменной Х так и по У­– они называются частными производными второго порядка.

Z”_xх – частная производная второго порядка дважды дифференцирован по переменной Х

Z”_уу, – част пр-я 2-го порядка дважды дифференцирован по переменной У

Z”_ху, – част пр-я 2-го порядка сначала найденная по перем Х, потом по У

Z”_ух, – част пр-я 2-го порядка сначала найденная по перем У, потом по Х

Пример: Найти частные производные второго порядка от функции

Z=x²–3y²–6xy–2x–y+9

Z’_x = 2x–6у–2

Z’_у= –6у–6х–1

Z”_xх = (Z’_x)’_х = (2x–6у–2)’_x=2-0-0=2

Z”_yy = (Z’_y)’_y = (–6у–6х–1)’_y=-6-0-0= –6

Z”_xy = (Z’_x)’_y= (2x–6у–2)’_y=0-5-0= –6

Z”_yx = (Z’_y)’_x= (–6у–6х–1)’_x=-0–5–0= –6

Заметим что частные производные второго порядка Z’_xy Z’_yx равны между собой, и следовательно не зависят от порядка дифференцирования.