Функция двух переменных

При изучении многих зависимостей используют понятие функции нескольких переменных.

Например: температура Т, измеряемая в различных точках некоторого тела или пространства, зависит от координат точки (х, у, z) (от места, где устанавливается термометр) и от момента времени t. В этом случае пишут T=f(x, у, z, t).

Мы будем рассматривать только случай функций двух переменных. Выводы, полученные при этом, можно легко распространить на функции от большего числа переменных.

Примером функции двух переменных может служить зависимость площади прямоугольника от длины a и от ширины b. формула имеет вид S=a*b
Опр. Функция двух переменных – это правило, по которому каждой паре х и у ставится в соответствие единственное значение Z.

Обозначают z=f(x,y), f-закон соответствие по которому паре х и у ставится в соответствие значение Z.

Значение функции двух переменных находится так же как и для функции одной переменной

Например: Вычислить значение функции двух переменных Z=x²–2xy, в точке М(1,2)

Z(1,2)= f(x,y)=1²–2*1*2=1–4= –3

Опр. Область определения функции двух переменных z=f(x,y) называется множество пар переменных х и у для которых функция z=f(x,y) определена.

Область определения может иметь вид прямоугольника, круга, полуплоскости.

Пример 1:

Найти область определения для функции Z=

Корень существует, если ху³0, это возможно когда

или

область определения функции двух переменных обычно изображается штриховкой в системе ПДСК координат на плоскости.

Пример 2:

Найти область определения для функции Z= ,

Выражение будет существовать когда корень ³0, знаменатель ¹0

, т.е. 4–х²–у²>0

4–х²–у²=0

х²+у²=4 окружность с центром в точке (0,0) и радиусом 2.

Возьмем точку из окружности (0,0) и подставим ее в неравенство, получим верное равенство, следовательно областью определений будет все множество точек лежащее внутри окружности.