Возможности и ограничения численных методов

При использовании численных методов математической фи­зики всегда необходимо помнить тот факт, что результаты чис­ленных решений всегда приблизительны [1]. Есть несколько причин для расхождений между результатом расчета и экспериментом. Ошибки накапливаются в каждой части процесса, используемого для получения численных результатов:

- дифференциальные уравнения могут содержать ошибки, обусловленные идеализацией реальных физи­ческих процессов при построении математической мо­дели;

- алгебраические уравнения содержат ошибки аппроксима­ции, полученные в процессе дискретизации дифференциальных уравнений;

- в решении алгебраических уравнений используются ите­рационные методы.

Когда расчетные уравнения имеют точные аналитические решения (например, уравнения Навье-Стокса для несжимаемых Ньютоновых жидкостей), результаты расчета могут быть полу­чены с любой желаемой степенью точности. Однако, для многих физических явлений, таких как турбулентность, горение, мно­гофазные течения, точные уравнения или невозможно сформу­лировать, или невозможно получить их точное численное ре­шение. Если бы даже численное решение уравнения было точ­ным с вычислительной точки зрения, оно не являлось бы пра­вильным представлением действительности. Чтобы проверить адекватность моделей, необходимо привлечение эксперимен­тальных данных [1,8,9].

Ошибки дискретизации могут быть уменьшены при исполь­зовании более точной интерполяции, аппроксимации или за счет осреднения параметров течения в пределах меньших облас­тей, но это увеличивает время и затраты на получение решения. Поэтому для применения численных методов в инженерных за­дачах необходимо найти компромисс.

Компромиссы также необходимы при решении дискретизо­ван­ных уравнений. Прямое моделирование, с помощью которого можно получить точное решение, на практике используется редко, поскольку оно является слишком дорогостоящим в вы­числительном плане. Итерационные методы решения рас­про­странены больше, но при их использовании необходимо при­нимать во внимание ошибки, обусловленные неполной сходи­мости итерационого процесса.

Визуализация численных решений с использованием векто­ров, контуров или других видов графики и видео важна для ин­терпретации результатов. Они являются самым эффективным средством интерпретации огромного количества данных, полу­ченных в результате расчета. Однако, есть опасность, что оши­бочное решение может выглядеть правдоподобно, но, возможно, не соответствовать реальным процессам! Пользователи коммер­ческих программ CFD должны быть особенно внимательны, по­скольку оптимизм продавцов про­грамм по поводу их возможностей очень велик. Замеча­тельные цветные картинки произво­дят большое впечатление, но совершенно бесполезны, если они количественно не соответст­вуют эксперименту.