Движение маятника вблизи положения неустойчивого равновесия

Рассмотрим другой предельный случай , т.е. система начинает движение из положения вблизи точки неустойчивого равновесия (рисунок 14). Введем угол , характеризующий отклонение тела от положения неустойчивого равновесия (1.2): (1.8). Обозначим , (1.9). Разделив 2-ое уравнение на 1-ое, получим уравнение с разделяющимися переменными (1.10) уравнение интегральных кривых: (1.11) – гиперболы (рисунок 15). В верхней полуплоскости возрастает, в нижней – убывает. В (0,0) входят и выходят 2 фазовые траектории – это особая точка седло ( точка покоя, но неустойчивого равновесия).

Набор фазовых траекторий, соответствующих различным начальным состояниям системы, образует фазовый портрет.

I - Область переодического движения

II - Область незамкнутых траекторий, соответствующих вращению тела вокруг своей оси

I и III – сепаратрисы. Движение по сепаратрисе соответствует падению тела и положения неустойчивого равновесия с нулевой начальной скоростью.