Движение маятника вблизи положения устойчивого равновесия

Ограничимся малым оклонением маятника от положения равновесия (). Тогда раскладываем в ряд Тейлора и ограничимся только первым членом разложения . (1.2) (1.4) – уравнение малых колебаний. Обозначим: , тогда (1.4) система 2-х уравнений 1-ого порядка , (1.5). Интегрируя систему (1.5), найдем интегральные кривые. Сначала исключаем время, для этого делим 2-ое уравнение на 1-ое: (1.6) – уравнение с разделяющимися переменными. Его решение (1.7) – уравнение эллипсов. определяется НУ. Когда эллипс вырождается в точку (0,0). Таким образом, семейство интегральных кривых - эллипсы, описанные около начала координат (рисунок 13).

Интегральные кривые, на которых указано направление движения, называется фазовыми траекториями, а сама координатная плоскость – фазовой плоскостью.

В верхней полуплоскости возрастает, в нижней – убывает. Точка (0,0)- особая точка тапа центр (точка покоя, стационарная точка). В данной точке тело покоится.