Упражнения с решениями. Пример 1.Доказать тождество

Пример 1. Доказать тождество

Решение. .

Пример 2. Доказать тождество

Решение. ,

.

Тождество доказано, так как его левая и правая части равны.

Пример 3. Упростить .

Решение. Будем полагать, что данное выражение имеет смысл при всех допустимых значениях .

Упростим числитель:

.

Упростим знаменатель:

.

Таким образом,

.

Пример 4. Дано: ; вычислить значения остальных тригонометрических функций.

Решение. Используем тождество . Перед радикалом оставим знак «плюс», потому что синус во второй четверти положителен. Таким образом,

;

;

;

;

.

Пример 5. Дано: . Найти .

Решение. Дополним выражение до квадрата двучлена:

.

Возведем обе части равенства в квадрат. Получим , откуда . Тогда .

Следовательно, .

Пример 6. Упростить выражение

Решение.

Здесь мы использовали соотношение .

Здесь мы использовали соотношение .

Здесь мы использовали соотношение и свойство степени с четным показателем.

Теперь данное выражение можно записать в виде