Матричные передаточные функции

Скалярные системы управления характеризуются внешними и внутренними характеристиками. Внешние характеристики однозначны. Это дифференциальные уравнения и соответствующие им ПФ. Количество внутренних характеристик (моделей состояния) неограниченно.

При исследовании систем управления может возникать задача определения ПФ по уравнению состояния.

Рассмотрим уравнение состояния:

Преобразуем по Лапласу при нулевых начальных условиях первое уравнение

Это уравнение можно привести к виду

Таким образом:

Преобразуем по Лапласу второе уравнение

Если входной и выходной сигнал являются скалярными величинами, то передаточная функция разомкнутой системы выражается через матрицы A, B, C.

Обратная матрица существует для квадратной матрицы, определитель которой не равен нулю.

Рассмотрим задачу нахождения обратной матрицы. Здесь используется формула:

Где - определитель матрицы, - транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A.

Пример 1.11. Нахождение обратной матрицы для матрицы А

Алгебраическим дополнением называется число:

,

где i и j – номер строки и столбца, M _ij – дополнительный минор элемента с индексами i и j.

Матрица миноров

Проверка

Пример 1.13. Найти ПФ для системы, заданной матрицами:

Здесь

Рассмотрим обратную матрицу:

Таким образом

Пример 1.14. Рассмотрим уравнения в пространстве состояний и передаточную функцию RLC – цепи (рис. 1.10).

R

i C

C

u C

i L

u 0

i

Рис. 1.10. RLC - цепь

Входной переменной здесь является ток i источника тока, а выходной переменной u ₀ – напряжение на сопротивлении.

Здесь можно использовать следующие переменные состояния:

Введем переменные состояния:

Тогда

Уравнение выхода:

В матричной форме

Выполним переход от уравнений состояния к ПФ:

Рассмотрим далее матричную ПФ для системы, у которой матрица D ненулевая:

Здесь

Таким образом:

Окончательно

Рассмотрим матричную ПФ замкнутой системы (рис. 1.11).

g

K

C

W

u

Y

X

Рис. 1.11. Структурная схема системы с обратной связью

u (s) = g (s) – KX (s).

Таким образом